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수학이야기94

비만도 산출 공식 우리는 생활하면서 유리식을 사용하는 경우가 많다. 그 중의 하나가 비만도 산출 공식이다. 비만도를 측정하는 공식으로 보통 많이 이용하는 것은 세계보건기구(WHO) 표준 비만도 산출 공식이다. 키가 이고 몸무게가 일 때, 비만도 산출 공식은 다음과 같다. 여기서 를 표준 체중이라고 한다. 여자의 경우 105를 빼기도 하지만, 보통은 남녀 구분 없이 100을 뺀다. 이렇게 구한 비만도에 따라 청소년과 성인의 비만 정도를 나타내면 다음과 같다. 예를 들어, 키가 인 성인의 몸무게가 일 때, 비만도를 구하면이다. 표에 따르면 이 사람은 정상에서 약간 벗어난 과체중이다. 위의 표를 보면 청소년들의 정상 범위가 어른보다 더 넓음을 알 수 있는데, 이는 청소년들은 아직 성장하는 과정 중에 있기 때문이다. 2014. 12. 6.
지문과 수학 추리소설 또는 텔레비전의 수사물에서 지문은 범인을 잡는 데 결정적인 증거가 된다. 지문은 그 모양과 형태에 따라 반원형 지문과 고리형 지문 그리고 소용돌이형 지문으로 구분된다. 반원형 지문은 지문선이 한쪽에서 들어와서 다른 쪽으로 나가는 평탄한 반원형 지문(A)과 지문선이 대칭적이고 가운데 부분이 마치 천막을 친 것과 같은 모양을 한 천막 모양의 반원형 지문(T)으로 나누어진다. 고리형 지문은 지문선이 왼쪽에서 시작하여 왼쪽으로 나가는 왼쪽 고리형 지문(U)과 지문선이 오른쪽에서 시작하여 오른쪽으로 나가는 오른쪽 고리형 지문(R)이 있다. 소용돌이형 지문(W)은 다음 그림과 같이 네 가지 종류가 있지만 모두 한 가지로 분류하고 있다. 이와 같은 지문의 형태는 반원형 지문이 전체의 5%, 고리형 지문이 전.. 2014. 12. 6.
아벨의 장난 아벨(Abel, N. H. ; 1802~1829)은 1802년 노르웨이의 핀드에서 시골 목사의 아들로 태어났다. 아벨이 18세였던 1820년에 아벨의 아버지는 48세의 나이로 죽었다. 그래서 어머니와 여섯 명의 형제들을 보살펴야할 책임이 그에게 주어졌고, 가난은 평생 그를 따라다녔다. 아벨은 홀름보에 선생님을 만나면서부터 천재성을 발휘하였고, 가난했지만 수학을 더 공부하기 위하여 대학에 입학했다. 아벨은 대학생이 되어서도 끼니를 굶어가며 열심히 공부하여 대수학에서 뛰어난 업적을 이루었다. 그의 많은 업적 중 하나는 5차 대수방정식 의 근을 일반적으로 구하는 공식은 없다는 것을 증명한 것이다. 유명한 수학자 에르미트는 아벨의 업적에 대하여 "그가 남긴 업적은 앞으로 500년 간 수학자들을 바쁘게 할 것이다.. 2014. 12. 5.
해밀턴의 세계 일주 게임 19세기 영국의 수학자 해밀턴은 그래프와 관련된 여러 가지 재미있는 문제를 제기하였는데 그 중에는 아직까지 완전히 해결되지 않은 문제도 있다. '세계 일주 게임'은 그가 1857년에 소개한 것으로, 정십이면체의 20개의 각 꼭짓점에 세계의 유명한 도시의 이름을 붙인 후, 어느 한 도시를 출발하여 모서리를 따라 다른 도시를 모두 방문하고 처음 도시로 돌아오는 게임이다. 이때, 한 번 방문한 도시는 다시 방문하지 않는다. 해밀턴은 정십이면체를 평면그래프로 나타내어 이 문제를 다음 그림과 같이 해결하였다. 위의 게임에서와 같이 같은 길을 지나지 않고 주어진 그래프 상의 점을 모두 한 번씩 지나서 출발점으로 돌아올 수 있는 길을 '해밀턴 폐쇄로'라고 한다. 해밀턴 폐쇄로 문제는 '어떤 경우에 해밀턴 폐쇄로가 있.. 2014. 12. 5.
심슨의 역설(Simpson's Paradox) 영국의 통계학자인 심슨(Simpson, E. ; 1910~1961)은 1951년에 여러 개의 그룹을 합쳐 놓았을 때 각 그룹의 우열 관계가 뒤바뀌는 현상에 대하여 주목하였다. 예를 들어 새로 나온 어떤 약이 남녀 모두에게 이전의 약보다 더 좋은 효능을 보인다. 그러나 그 약은 전체적으로 볼 때 효능이 더 떨어진다. 혹은 어떤 회사는 직원을 채용할 때 남자보다 여자를 선호한다. 그러나 전체적으로 볼 때 여성의 채용 비율이 남성에 비하여 더 낮다. 이와 같이 동일하지 않은 가중치를 적용함에 따라 부분에 대한 분석 결과와 전체에 대한 분석 결과가 일치하지 않는 현상을 '심슨의 역설(Simpson's Paradox)'이라고 한다. 어느 대학에서 신입생의 합격률(지원자 수에 대한 합격자 수의 비율)을 조사한 결과.. 2014. 12. 5.
티티우스 수열 국제천문연맹(IAU)은 2006년 8월 24일 IAU 총회에서 태양계 안에 있는 천체에 국한하여 행성을 다음과 같이 정의하였다. 1. 태양 주위를 돈다. 2. 충분한 질량을 가져서 정역학적 평형을 이루며, 구형에 가까운 형태를 가지고 있다. 3. 주변 궤도의 천체에서 지배적인 위치를 차지한다. 이 조건을 모두 만족시키는 태양계의 행성은 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성, 천왕성, 해왕성의 여덟 개이다. 그러나 이전까지 행성으로 분류되었던 명왕성은 세 번째 조건을 만족시키지 못하므로 행성이 아닌 왜소행성으로 분류되었다. 1766년 독일의 천문학자 티티우스(Titius, J. D. ; 1729∼1796)는 수열을 이용하여 그때까지 발견된 행성인 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성과 태양 사이의 .. 2014. 12. 1.
도형수(figulate number)와 계차수열 다음 그림과 같이 ●를 늘어놓으면 각각의 ●의 개수로 수열이 이루어진다. 이때, 정삼각형이 되는 수를 '삼각수', 정사각형이 되는 수를 '사각수', 정오각형이 되는 수를 '오각수', …라고 한다. 각각의 수열의 일반항 을 계차수열을 이용하여 구할 수 있다. 삼각수의 일반항 : 사각수의 일반항 : 오각수의 일반항 : 육각수의 일반항 : 2014. 12. 1.
세균의 유전자와 분열 인간의 모든 유전자를 해독하기 위해 1980년대 말에 시작된 인간 게놈(genom) 프로젝트가 2003년에 완성되어 생물학은 일대 혁명기를 맞이하고 있다. 인간의 복잡한 유전자 지도가 완성됨에 따라 개인마다 최대 약효가 나타나도록 약의 용량을 조절하거나 질병을 조기 진단하여 예방하고, 나아가 결손이 생긴 유전자를 정상적인 유전자로 바꾸어 놓는 유전자 치료도 할 수 있을 것으로 예상된다. 인간의 유전자는 23쌍의 염색체 속에 있는 약 30억 쌍의 염기로 구성되어 있다. 그러나 인간과는 달리 단세포 생물인 세균은 하나의 염색체를 가지며, 유전자들은 하나의 커다란 DNA 분자에 암호화되어 있다. 대부분의 세균은 대장균의 염색체와 비슷한 크기의 염색체를 가진다. 세균은 배양하기가 쉽고 배양 속도가 빠르기 때문에.. 2014. 12. 1.
별의 밝기 5월의 밤하늘에서는 국자 모양의 별자리인 북두칠성(Big Dipper)을 찾을 수 있다. 북두칠성은 큰곰자리의 꼬리를 이루는 일곱 개의 별이며 인간의 수명을 관장하는 별자리로 알려져 있다. 북두칠성은 눈으로 쉽게 찾을 수 있는 2등성 내외의 별들로 북극성의 위치를 알려주기도 하므로 옛날부터 항해하는 사람들에게 친근한 별이기도 하다. 기원전 그리스의 히파르코스(Hipparchos ; ?∼?B.C.125)는 눈으로 보이는 별들을 밝기에 따라 가장 밝은 별(1등성)에서 가장 어두운 별(6등성)까지 6등급으로 분류하였다. 그 후에 1등성의 밝기는 6등성의 밝기의 약 100배임을 알게 되었다. 따라서 각 등급 간의 밝기의 비가 일정하다면, 별의 등급이 1등급 작아질 때마다 별의 밝기는 배 밝아지게 된다. 1856.. 2014. 12. 1.
로그의 역사 네이피어(Napier, J. ; 1550∼1617) 17세기 초 망원경의 발명으로 천문학, 항해술, 삼각법이 급속히 발달하였고, 이에 따라 방대하고도 복잡한 천문학상의 계산을 하기 위해 새로운 계산 기술이 절실히 요구되었다. 이러한 시대적인 요구에 따라 네이피어는 새로운 계산 방법인 로그를 발명하였다. 로그의 개념을 쓰면 크고 복잡한 곱셈 문제를 간단한 덧셈 문제로 바꿀 수 있기 때문에 라플라스(Laplace, P. S. ; 1749∼1827)가 “천문학자의 수고를 덜어줌으로써 그들의 수명을 두 배로 늘렸다.”라고 말했을 정도로, 로그의 발명은 수학사에 길이 남는 매우 획기적인 것이었다. 네이피어가 정의한 로그의 개념은 다음과 같다. 아래의 그림과 같이 선분 AB와 반직선 CD에서 점 P와 점 Q가 동시.. 2014. 11. 28.
카발리에리의 원리 카발리에리(Cavalieri, F. B. ; 1598∼1647) 카발리에리는 이탈리아 예수아티(Jesuati)의 수도사이자 수학자였다. 처음에는 종교 교육을 받았으나 갈릴레이의 제자 카스텔리(Benedetto Castelli)를 통해 수학을 알게 된 뒤 밀라노와 파르마 등의 수도원에서 신학을 가르치며 수학을 연구했다. 1626년에 갈릴레이의 도움으로 볼로냐대학의 교수가 된 그는 생을 마칠 때까지 후학을 양성하는 데 힘썼다. 카발리에리는 17세기의 미분적분학 형성에 공헌하였는데 그의 면적 계산법은 아르키메데스의 엄밀한 ‘착출법(method of exhaustion)’과 달리 ‘무한히 얇게 자르며 비교하는’ 직관적인 원리에 바탕을 두었다. 카발리에리의 원리는 다음과 같다. 1. 두 평면도형이 한 쌍의 평행선.. 2014. 11. 28.
우리나라의 전통 주사위 목제주령구 경주 안압지에서 출토된 '목제주령구'라는 주사위는 보통 우리가 보아 온 6면체가 아니라 특이하게 14면체로 되어 있다. 이 주사위는 정사각형 모양의 면 6개와 육각형 모양의 면 8개로 이루어져 있다.이는 나무로 만든(木製) 술 먹을 때(酒) 놀던 주사위(令具)라 해서 이름이 붙여졌다. 주사위의 각 면에는 놀이와 관련된 모두 14개의 한자 어구가 음각되어 있다. 목제주령구는 정육면체 주사위에 비해 훨씬 많은 경우를 나타낼 수 있어 우리 선조들의 지혜를 엿볼 수 있다. 목제주령구는 다음 그림과 같이 두 가지 방법으로 정육면체의 꼭짓점 부근을 잘라서 만들 수 있다. 목제주령구에서 정사각형 모양의 면의넓이는 이고 육각형 모양의 면의 넓이는 이다. 실제로 이 주사위를 만들어 던지는 실험을 한 결과는 다음과 같다... 2014. 11. 28.
대규모 시험에서의 표준 점수 우리나라의 대학 수학 능력 시험이나 미국의 SAT 등과 같이 수험생이 많고, 과목 수도 여러 가지인 경우에는 항상 과목별 난이도의 차이로 인한 문제가 생긴다. 예를 들어 어떤 학생의 국어 점수가 80점, 수학 점수가 75점일 때, 80과 75의 단순 비교만으로는 국어 성적이 좋은지, 수학 성적이 좋은지 알 수 없다. 특히 선택 과목의 경우 선택에 따른 유리함 또는 불리함을 없애고 각 과목 사이의 난이도 조정을 위해서 표준 점수의 도입이 필수적이다. 표준 점수는 전체 응시자의 과목별 평균 점수와 표준편차를 이용하여 각 학생의 과목별 점수가 과목별 전체 평균 점수보다 얼마나 높은지 혹은 얼마나 낮은지를 비교하는 것이다. 표준 점수 중에서 T 점수는 전체 평균이 50점, 표준편차가 10점이 되도록 변환한 것이.. 2014. 11. 28.
던바의 수(Dunbar's number) '던바의 숫자'(Dunbar's number)라는 게 있다. 한 사람이 안정적으로 상호 관계를 유지해 나갈 수 있는 사람의 숫자를 가리키는 말이다. 이를테면 안정적으로 교류할 수 있는 친구 수의 상한을 말하는 것인데, 애초 영국 인류학자 로빈 던바(Robin Dunbar)가 주장한 개념이라 해서 '던바의 수'라는 이름이 붙었다.그는 1992년 각종 문헌들을 조사한 결과를 토대로, 그 크기가 100명에서 230명 사이라고 주장하고 그 중간 정도인 150을 일반적인 값으로 제안했다. 그는 150이라는 수에 포함되는 사람들을 "초대받지 않은 술자리에서 우연히 동석해도 당혹스러워하지 않을 정도의 사람"이라고 설명했다.던바 교수의 이론은 인간의 뇌는 용량이 정해져 있어서 일정한 관계 이상을 관리할 수 없다는 인지.. 2014. 11. 13.
다기망양(多岐亡羊)과 미로 미로라고 하면 종이 위에 그려진 퍼즐이나 어린이 공원 같은 데 있는 미로를 생각하겠지만, 미로는 인간의 실생활에서도 쉽게 볼 수 있다. 미로가 실생활에 사용된 실제적인 예는 고대 이집트의 피라미드에서 찾아볼 수 있다. 피라미드 속에는 죽은 왕과 함께 갖가지 보물들을 넣어 두었는데, 그 보물들을 도적이 훔쳐가지 못하도록 하기 위해 미로를 만들었다. 모험 영화인 ‘인디애나 존스’, ‘미이라’, ‘해리포터’에서도 미로를 헤매고 다니는 주인공들을 흔히 볼 수 있다. 이 밖에도 유럽에서는 궁전의 안뜰에 미로를 만들어 공격해 온 적을 안으로 유인해 전멸시켰다는 전설도 있다. 영국의 브라이트라는 사람은 라는 책을 쓰고, 1971년에는 1.6km이상 되는 미로 정원을 만들었다고 한다. 그 후, 그는 런던의 서쪽 롤리트.. 2014. 10. 20.
넓이와 부정적분 사이의 관계 함수 와 축 사이의 넓이를 구하는 데 부정적분을 이용한다는 사실은 이미 잘 알려져 있다. 그렇다면 이 정리를 처음 생각해 내고 증명한 사람은 누구일까? 수학사에서 알려진 것에 의하면 뉴턴의 스승인 영국의 수학자 배로(Barrow, I.: 1630~1677)가 처음으로 생각하고 증명하였다고 한다. 배로는 기하학적 방법으로 증명하였는데 그 증명 개요는 다음과 같다. 다음 그림과 같이 한 곡선 가 주어지고, 그 곡선 위에 각 점까지 그 곡선과 축 사이의 넓이를 나타내는 곡선 가 있다고 하자. 여기에서 를 가 되도록 잡으면 직선 는 접선이 된다. 이 정리를 다음과 같이 기호로 나타낼 수 있다. 접선의 기울기 즉, 넓이의 변화율이 함숫값이 된다. 따라서 원함수 의 부정적분을 구하면 넓이 함수 이고, 특정 구간 에.. 2014. 9. 5.
적분법의 발전 곡선의 길이, 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 입체의 부피와 같이 양을 구하는 문제는 적분법이 성립되기 훨씬 전부터 많은 사람들에 의해 연구되었다. 예를 들어, 고대 이집트에서는 나일 강의 정기적인 범람으로 해마다 토지의 구획을 새로 정리하는 과정에서 곡선으로 둘러싸인 토지의 넓이를 다각형으로 근사시켜 그 넓이를 구하였다고 한다. 또, 그리스의 아르키메데스(Archimedes : B.C.287~B.C.212)는 포물선과 현으로 둘러싸인 부분의 넓이를 실진법(method of exhaustion)으로 구하는 방법을 제시하였다.그는 아래의 그림과 같이 선분 AB와 평행한 포물선 위의 접선의 접점을 C라고 할 때, 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 △ABC의 넓이의 4/3배가 됨을 보였다. 17세기의 .. 2014. 9. 2.
짜장면과 종이접기 우리는 종종 어떤 것을 반으로 나누는 것을 대수롭지 않게 여긴다. 하지만 자연수 중에서 1을 제외하고 가장 작은 수 2와 그것의 역수인 ‘반’, 즉 1/2의 위력은 우리가 생각하고 있는 것 이상으로 대단하다. 종이접기를 이용하여 반으로 나누는 것에 관하여 알아보자. 외국에서는 이 종이 반접기가 꾸준한 토론 거리가 될 만큼 관심을 받고 있다. 그리고 2001년 12월에 종이를 반으로 접는 문제를 ‘수학적으로’ 풀어낸 사람이 있었다. 당시 고등학생이었던 ‘브리트니 걸리반(Britney Gallivan)’이라는 여성은 종이를 반으로 접는 것에 관한 공식을 찾았을 뿐만 아니라 종이를 무려 12번 접어 보여 주위를 깜짝 놀라게 했다. 종이가 아무리 거대하거나 혹은 그 두께가 상상을 초월할 만큼 얇다하더라도 8번 .. 2014. 7. 21.