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정신체조수학

원주율의 계산

by mathpark 2012. 11. 13.

는 원의 둘레의 지름에 대한 비율인 원주율이다. 모든 원은 닮음이므로 원의 둘레의 길이는 그 지름의 길이에 비례하며, 이때의 비례상수, 즉

를 원주율이라고 한다.


아르키메데스(Archimedes ; B.C.287~B.C.212)는 원의 둘레의 길이는 내접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 크고, 외접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 작다는 사실에 착안하여 원주율의 근삿값을 소수점 아래 둘째 자리까지 정확하게 구했다.


그는 원에 내접하는 정6각형과 외접하는 정6각형을 그렸고, 이 그림에서부터 정다각형의 변의 개수를 두 배씩 늘려서 원에 내접, 외접하는 정12각형, 정24각형, 정48각형을 그리고, 마침내 정96각형까지 같은 방법으로 그려냈다.





원의 둘레의 길이가 내접하는 정96각형의 둘레의 길이보다는 크고, 외접하는 정96각형의 둘레의 길이보다는 작다는 사실로부터



즉, 임을 알아냈다.


고대의 계산술로 이 정도의 근삿값을 구한 것은 대단한 것이다. '다각형법'이라고 불리는 아르키메데스의 방법을 사용하면 정다각형의 변의 개수를 두 배씩 늘려갈수록 점점 더 정확한 원주율의 값을 얻을 수 있다.


16세기 독일의 수학자인 루돌프(Ludolph van Ceulen ; 1540~1610)는 원의 둘레를 계속 이등분하여 원에 내접, 외접하는 정다각형으로부터 원주율을 소수점 아래 35자리까지 계산하였다.



루돌프는 자신이 계산한 원주율의 값을 묘비에 새겨 달라고 유언을 하였는데, 독일에서는 원주율을 '루돌프의 수'라고 부르기도 한다. 원주율을 로 나타내기 시작한 것은 18세기의 수학자인 오일러(Euler, L ; 1707~1783)에 의해서이다.






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댓글2

  • Favicon of https://sramanujan.tistory.com Kagan D. 2012.11.18 04:26 신고

    제겐 굉장히 흥미로운 아이디어입니다. 내접한 다각형과 내접한 다각형 사이에 원이 위치한다는 지극히 당연한 사실에서 원주율을 구한다는 것이 말이죠. '적분가능성'에 대해 처음 배울 때도 무릎을 탁! 치게 만드는 그 당연함과 자연스러운 정의에 굉장히 흥미를 느꼈었죠.
    가끔 너무 어려워서 사람을 미치게 만들기도 하지만, 수학을 공부하다 보면 재미있고 흥미로울 때가 더 많은 것 같아요...
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