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우리 시대의 역설 - Geoff Dixon 건물은 높아졌지만 인격은 더 작아졌다.고속도로는 넓어졌지만 시야는 더 좁아졌다.소비는 많아졌지만 더 가난해지고더 많은 물건을 사지만 기쁨은 줄어들었다.집은 더 커졌지만 가족은 더 적어졌다.더 편리해졌지만 시간은 더 없다.학력은 높아졌지만 상식은 부족하고지식은 많아졌지만 판단력은 모자라다.전문가들은 늘어났지만 문제는 더 많아졌고약은 많아졌지만 건강은 더 나빠졌다.너무 분별없이 소비하고너무 적게 웃고너무 빨리 운전하고너무 성급히 화를 낸다.너무 많이 마시고 너무 많이 피우며너무 늦게까지 깨어 있고 너무 지쳐서 일어나며너무 책을 적게 읽고, 텔레비전은 너무 많이 본다.그리고 너무 드물게 기도한다.... https://m.blog.naver.com/pcswa/224163111666 우리 시대의 역설 - Geof.. 2014. 9. 26.
목사와 천국 술과 노름에 푹 빠져 있던 사오정에게 목사님이 한마디했다."사오정 형제님, 저는 나중에 우리가 죽어서 천국에서 함께 만나지 못할까 두렵습니다." 그러자 사오정이 정색하는 표정으로... https://m.blog.naver.com/pcswa/224163110127 목사님과 사오정술과 노름에 푹 빠져 있던 사오정에게 목사님이 한마디 했다. "사오정 형제님, 저는 나중에 우리가 죽...blog.naver.com 2014. 9. 18.
아내의 이름 오랜만에 부부동반으로 동창회에 참석한 친구가 모임 내내 아내를 "허니~", "자기야~", "달링~" 등으로 부르며 느끼하게 애정을 표현하자 보다못한 사람들이 왜 짜증나게 그렇게 부르냐고 물었다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224163108039 아내의 이름오랜만에 부부동반으로 동창회에 참석한 친구가 모임 내내 아내를 "허니~", "자기야~"...blog.naver.com 2014. 9. 18.
오빠는 나 어딜 보고 만나? 여자 : 저기 있잖아 오빠... 오빠는 나 어딜 보고 만나? 남자 : 음... 잘못 보고. 2014. 9. 18.
정치가의 자질 한 신문기자가 영국의 처칠 수상에게 '훌륭한 정치가의 자질'에 대해 물었다. 처칠은 여유있는 표정으로 대답했다. "그것은 십년 후에 무슨 일이 어떻게 일어날 지를 예측할 수 있는 능력이다." 기자가 자신의 말을 다 받아적자 처칠은 한 마디 덧붙였다. "그리고 자기의 예언이 틀리게 되었을 때 완벽하게 변명할 수 있는 능력이 더 중요하다." 2014. 9. 18.
결혼 갓 결혼한 남자가 친구들이 모인 자리에서 털어놓았다. "그깟 결혼으로 이렇게 세계관이 달라질지 미처 몰랐어." "무슨 말이야?" "결혼 전엔 온 세상 여자가 다 좋았어. 근데 지금은…" "지금은?" 한 명 줄었어. 2014. 9. 18.
구두 닦는 링컨 어느날 링컨이 자신의 구두를 닦고 있었다.놀란 보좌관이 물었다. "아니 대통령께서 구두를 닦고 계십니까?" https://m.blog.naver.com/pcswa/224163104775 구두 닦는 링컨어느 날 링컨이 자신의 구두를 닦고 있었다. 놀란 보좌관이 물었다. "아니 대통령께서 구두를 닦고 계...blog.naver.com 2014. 9. 18.
2014 추석나들이 - 파주 부모님 돌아가신 후 명절 때 차례 지내고 가까운 작은집에 방문하는 것 외에는 딱히 할 일이 없어 가족 여행을 계획하곤 합니다. 올해는 특히 연휴가 길었지만 멀리 나가는 것은 좀 무리 일성 싶어 친구가 운영하는 캠핑장을 급히 예약하고 다녀왔습니다.1년에 한 두 번 보고 금방 헤어짐이 늘 아쉬웠던 사촌동생들이 흔쾌히 함께 동행해주어 여느 때보다 의미 있고 즐거운 1박 2일이었습니다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224163063617 2014 추석 나들이 - 파주 어반캠핑 인디언바베큐, 헤이리 예술마을부모님 돌아가신 후 명절 때 차례 지내고 가까운 작은 집에 방문하는 것 외에는 딱히 할 일이 없어 가족 여...blog.naver.com 2014. 9. 13.
넓이와 부정적분 사이의 관계 함수 와 축 사이의 넓이를 구하는 데 부정적분을 이용한다는 사실은 이미 잘 알려져 있다. 그렇다면 이 정리를 처음 생각해 내고 증명한 사람은 누구일까? 수학사에서 알려진 것에 의하면 뉴턴의 스승인 영국의 수학자 배로(Barrow, I.: 1630~1677)가 처음으로 생각하고 증명하였다고 한다. 배로는 기하학적 방법으로 증명하였는데 그 증명 개요는 다음과 같다. 다음 그림과 같이 한 곡선 가 주어지고, 그 곡선 위에 각 점까지 그 곡선과 축 사이의 넓이를 나타내는 곡선 가 있다고 하자. 여기에서 를 가 되도록 잡으면 직선 는 접선이 된다. 이 정리를 다음과 같이 기호로 나타낼 수 있다. 접선의 기울기 즉, 넓이의 변화율이 함숫값이 된다. 따라서 원함수 의 부정적분을 구하면 넓이 함수 이고, 특정 구간 에.. 2014. 9. 5.
적분법의 발전 곡선의 길이, 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 입체의 부피와 같이 양을 구하는 문제는 적분법이 성립되기 훨씬 전부터 많은 사람들에 의해 연구되었다. 예를 들어, 고대 이집트에서는 나일 강의 정기적인 범람으로 해마다 토지의 구획을 새로 정리하는 과정에서 곡선으로 둘러싸인 토지의 넓이를 다각형으로 근사시켜 그 넓이를 구하였다고 한다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224163022829 적분법의 발전곡선의 길이, 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 입체의 부피와 같이 양을 구하는 문제는 적분법이 성립되기 ...blog.naver.com 2014. 9. 2.
문제 해결의 수학적 전략 - Steven G. Krantz ◆ 질문하는 방법을 배워라. 정확하게 진술하고 명확하게 질문하는 것을 익히는 것도 배우는 과정의 한 부분이다. ...... 일반적인 교육에서 또 다른 중요한 부분은 읽는 법을 배우는 것이다. 이는 단순히 읽고 쓸 수 있는 능력을 갖추는 것만을 의미하지는 않는다. 그 대신에 하나의 문제, 또는 분석적인 구절이나 문제의 해답을 읽고, 문제의 밑바닥으로 가서 문제를 완전히 이해하고 결국에는 자신의 것으로 만드는 것을 의미한다. 이런 말들을 이해하고 있다면 문제는 해결된 것이다. ◆ 문제 풀이에 유능한 사람은 주어진 문제를 좀더 간단한 문제 또는 일련의 간단한 문제로 귀착시키는 데 능숙한 사람이다. ◆ 문제를 푸는 그 자체보다 '문제를 해결하려는 노력'이 언제나 가치 있는 것이 될 것이다. 2011/04/22 .. 2014. 8. 19.
타이어 펑크 조와 샘은 수요일에 물리학 시험을 본다. 그러나 그들은 화요일 밤에 건너 마을에서 파티에 참석했기 때문에, 시험 시간에 맞추어 되돌아오지 못하였다.그들은 - 자동차 바퀴에 구멍이 났다고 주장하면서 - 교수의 용서를 빌었다. 그리고, 교수는 이들에게 재시험의 기회를 주었다. 그는 조와 샘에게 같은 문제를 주고, 각각 다른 방에 떨어져서 풀게 하였다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224163005475 타이어 펑크조와 샘은 수요일에 물리학 시험을 본다. 그러나 그들은 화요일 밤에 건너 마을에서 파티에 참석했기 때문...blog.naver.com 2014. 8. 19.
콘웨이 수열 다음의 수열은 유명한 프린스턴 대학교의 수학자를 기념하는 의미에서 콘웨이(John H. Conway) 수열로 잘 알려진 수열이다. 이 수열의 다음에 나오게 될 항은 무엇인가? 1, 1, 1, 3, 1, 4, 1, 1, 3, 6, 1, 2, 3, 1, 4, 8, 1, 3, 3, 2, 4, 1, 6, ? https://m.blog.naver.com/pcswa/224163001919 콘웨이(Conway) 수열다음의 수열은 유명한 프린스턴 대학교의 수학자를 기념하는 의미에서 콘웨이(John H. Conway) 수열로 ...blog.naver.com 2014. 8. 18.
프란치스코 교황 어록 ◆ 비싼 여행 경비를 써가며 굳이 로마에 올 필요가 없다고 주교들과 신실한 신도에게 전해달라. 그 대신 가난한 이들과 함께 할 수 있도록 자선단체에 그 돈을 기부하라. - 2013.03.15 (선출된 직후, 즉위 축하 미사를 앞두고)◆ 가난한 이를 위한 가난한 교회가 얼마나 좋은가. - 2013.03.16◆ 존엄은 권력, 돈, 문화에 의해 형성되는 것이 아니다. 존엄은 노동에 의해 이뤄진다. 개개인의 존엄에 있어 노동은 근본적이다. 사회적 정의의 잣대를 넘어서는 이기적 이윤 추구 때문에 세계에 얼마나 많은 실직자들이 있는지 생각하고 있다. - 2013.05.01◆ 잘 사는 나라나 못 사는 나라 할 것 없이 인간의 삶은 더욱 나빠졌다. 금송아지를 숭배하는 비정한 삶이 펼쳐지고 있다. 빈자의 소중한 자산인 .. 2014. 8. 18.
2014 여름휴가 - 무주, 전주 연이어 올라오는 태풍들로 인해 날씨가 좋지 않은 시기였습니다. 마땅히 갈 곳을 찾지 못해 올해는 그냥 장모님이 계신 무주에서 지내기로 하고 출발했습니다.오전에 출발해 3시간 반만에 도착해서 점심 때가 되어 무주구천동 쪽에 있을만한 맛집을 검색해 봅니다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224162984989 2014 여름휴가 - 무주 구천동, 전주 한옥마을연이어 올라오는 태풍들로 인해 날씨가 좋지 않은 시기였습니다. 마땅히 갈 곳을 찾지 못해 올해는 그냥 장...blog.naver.com 2014. 8. 16.
동전 옮기기 게임 그림과 같이 인접한 여덟 개의 정사각형으로 이루어진 판을 가지고 게임을 한다. 처음에 세 개의 동전이 그림과 같이 놓여 있다. 규칙은 한 개의 동전을 왼쪽으로 한 칸씩 옮기는 것이다. 각각의 동전은 다른 동전의 위 또는 아래에 겹칠 수 있다. 목표는 모든 동전을 가장 왼쪽 끝으로 옮기는 것이다. 마지막으로 동전을 옮기는 사람이 이긴다고 할 때, 먼저 시작하는 사람이 이 게임에서 이기기 위한 전략은 무엇인가? 더보기 동전은 단지 왼쪽으로만 옮길 수 있고 오른쪽으로 결코 옮기지 못함을 주목하자. 왼쪽에 있는 동전부터 차례로 1번, 2번, 3번이라 하자. 게임을 한 번 할 때마다 1번 동전은 모두 세 번 움직여서 가장 왼쪽의 칸에 옮길 수 있다. 2번 동전은 모두 다섯 번 움직여서 가장 왼쪽의 칸에 옮길 수 .. 2014. 8. 16.
칩 가져가기 두 사람이 게임을 하고 있다. 이들은 칩 30개를 쌓아놓고 한 번에 1~6개의 칩을 가져갈 수 있다. 마지막 칩을 가져가는 사람이 게임에서 이긴다고 할 때, 먼저 시작한 사람이 항상 이길 수 있는 전략은 무엇일까? https://m.blog.naver.com/pcswa/224162962097 칩 가져가기 게임 필승 전략두 사람이 게임을 하고 있다. 이들은 칩 30개를 쌓아놓고 한 번에 1~6개의 칩을 가져갈 수 있다. 마지막 칩...blog.naver.com 2014. 8. 16.
결혼 문제 한 청년이 성년이 되었다. 그의 목표는 결혼하는 것이었다. 신부감을 찾기 위해 최대 100명의 여자와 데이트를 하기로 결심하였다. 여자와 잠시 데이트를 한 후, 그녀와 결혼을 하든지 그녀를 거절하고 계속해서 다른 여자를 만나보아야 했다. 일단 한 여자를 거절하면 다시는 그 여자를 만날 수 없다. 결국 오직 한 여자만을 선택하여 결혼해야 한다. 이 문제에서 흥미로운 점은 이 청년이 이미 만났던 여자에 대해서는 뒤돌아 볼 수 없지만 앞으로 만날 여자에 대해서는 미리 볼 수 없다는 것이다. 언제든지 청년은 "지금 만나고 있는 여자는 더욱 매력적이야, 그리고 이전에 만났던 어느 여자보다도 나에게 어울리는 것 같아"라 말하면서 그녀와 결혼할 것을 결정할 수 있다. 하지만 청년은 "이 여자는 멋있어. 하지만 더욱 .. 2014. 8. 11.
37장의 편지 37장의 편지를 쓴 다음 37장의 봉투에 주소를 적는다고 가정하자. 눈을 감고 무작위로 편지를 각각의 봉투에 하나씩 집어넣을 때, 단 한 장의 봉투에만 편지가 잘못 들어갈 확률은 얼마인가? 더보기 각각의 편지와 봉투에 1~37까지의 번호가 매겨져 있다고 하자. 1~36번까지의 편지가 봉투에 제대로 들어가 있다면, 남아 있는 것은 37번 편지와 37번 봉투일 것이다. 따라서 마지막에 남은 편지는 봉투에 제대로 들어갈 수밖에 없다. 물론 여기서 사용된 번호 매김에는 특별한 것이 없다. 이는 단지 단 한 장의 편지만이 봉투에 잘못 들어가는 것은 불가능하다는 아주 간단한 사실만을 알려줄 뿐이다. 한 장의 편지가 봉투에 잘못 들어 있다면, 적어도 두 장의 편지는 봉투에 잘못 들어가는 것이 된다. 따라서 구하는 확.. 2014. 8. 6.
여섯 명 중 세 사람 방 안에 여섯 명이 있다고 하자. 이들 중 세 사람은 서로 알고 있거나, 아니면 서로 모르는 경우가 있는데 그 이유를 설명하라. 물론 A가 B를 알고 있다면 B도 역시 A를 알고 있는 것으로 가정한다. 더보기 이들 중 한 사람을 조라고 하자. 조는 나머지 다섯 명 중에서 세 명을 알고 있든지, 아니면 세 명을 전혀 모르든지 둘 중의 하나이다. 첫 번째의 경우를 생각해 보자. 가령 조가 실제로 해리, 메리, 래리를 알고 있다고 가정하자. 이들 중 어느 두 사람이 서로 알고 있다면(예를 들면, 해리가 래리를 알고 있다), {조, 해리, 래리}는 서로 알고 있는 사이가 된다. 대신에 어떤 두 사람도 서로 모르는 사이라면 {해리, 메리, 래리}는 서로를 모르는 사람들이다. 위의 문제는 다음과 같이 재해석할 수 .. 2014. 8. 6.
낭떠러지와 호랑이 어떤 학교의 창의력 시험문제, "뒤에는 낭떠러지가 있고, 앞에는 한달동안 굶주린 호랑이가 있다. 당신은 어떻게 해서 이 위기를 벗어나겠는가?" 학생들은 다양한 답을 적었다. "미친듯이 도망친다", "살려달라고 소리지른다", "하늘에 운을 맡긴다", "호랑이 눈을 째려보며 눈싸움을 한다", ... 하지만 모두 B, C 이하의 학점을 받았다. 그런데 교수님은 한 학생의 답을 보고 A+를 주었다. 그 학생의 답은 바로... 더보기 "꿈에서 깨어난다" 2014. 7. 24.
짜장면과 종이접기 우리는 종종 어떤 것을 반으로 나누는 것을 대수롭지 않게 여긴다. 하지만 자연수 중에서 1을 제외하고 가장 작은 수 2와 그것의 역수인 ‘반’, 즉 1/2의 위력은 우리가 생각하고 있는 것 이상으로 대단하다. 종이접기를 이용하여 반으로 나누는 것에 관하여 알아보자. 외국에서는 이 종이 반접기가 꾸준한 토론 거리가 될 만큼 관심을 받고 있다. 그리고 2001년 12월에 종이를 반으로 접는 문제를 ‘수학적으로’ 풀어낸 사람이 있었다. 당시 고등학생이었던 ‘브리트니 걸리반(Britney Gallivan)’이라는 여성은 종이를 반으로 접는 것에 관한 공식을 찾았을 뿐만 아니라 종이를 무려 12번 접어 보여 주위를 깜짝 놀라게 했다. 종이가 아무리 거대하거나 혹은 그 두께가 상상을 초월할 만큼 얇다하더라도 8번 .. 2014. 7. 21.
안씨네 추어매운탕 미꾸라지 요리를 그리 좋아하지는 않는데 아내가 괜찮다는 집을 발견했다고 하여 찾아가 보았습니다.경기도 시흥시 물왕저수지 주변에 맛집들이 많은데 그 중에 한 곳이랍니다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224160644206 시흥 물왕저수지 안씨네 추어 매운탕2014년에 방문했던 기록인데 지금은 영업을 하지 않는 것 같습니다. 미꾸라지 요리를 그리 좋아하지는 않는...blog.naver.com 2014. 6. 27.
해남 풀내음펜션 1년에 하루 날을 잡아 사촌들과 고향에서 모입니다.올해는 선산 근처에 펜션을 하나 잡고 1박 2일 일정으로 다녀왔습니다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224160626536 2014 해남 풀내음 펜션1년에 하루 날을 잡아 사촌들과 고향에서 모입니다. 올해는 선산 근처에 펜션을 하나 잡고 1박 2일 일정으...blog.naver.com 2014. 6. 23.
2박 3일 무주 여행 지난 5월 초에 연휴를 맞아 장모님이 계신 무주로 가볍게 다녀왔습니다. 세월호 참사의 와중이라 포스팅을 할까말까하다가 그냥 간단하게 사진 위주로 올려놓습니다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224160575572 2014 어린이날 무주 여행 - 반디랜드, 태권도원, 머루와인동굴, 적상산 전망대지난 5월 초에 연휴를 맞아 장모님이 계신 무주로 가볍게 다녀왔습니다. 세월호 참사의 와중이라 포스팅을 ...blog.naver.com 2014. 6. 10.
천재일우(千載一遇)와 확률 동진(東晋)의 학자로서 동양태수(東陽太守)를 지낸 원굉(袁宏)은 여러 문집에 시문 300여 편을 남겼다. 특히 그는 이라는 것을 썼는데, 이 책은 에 실려 있는 건국 명신 20명을 찬양하는 시와 서문을 쓴 글이다. 원굉은 그 중 위나라의 순문약(筍文若)을 찬양한 다음과 같은 글을 적고 있다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224160564947 천재일우(千載一遇)와 확률동진(東晋)의 학자로서 동양태수(東陽太守)를 지낸 원굉(袁宏)은 여러 문집에 시문 300여 편을 남겼다. 특...blog.naver.com 2014. 6. 5.
이차방정식의 근의 공식 우리 나라의 한 대학교수가 세계의 수학을 움직이는 프린스턴 대학의 고등연구소에서 실시된 수학논문 발표회에 참석하였다.논문 발표내용에 이차방정식의 답이 필요하자 발표자는 우리 나라 중학생들도 잘 아는 ‘근의 공식’에 대입하지 않고 일일이 귀찮은 완전 제곱의 방식으로 문제를 풀었다.이를 보고 의아하게 생각한 그가 발표가 끝난 후에 개인적으로 물어 보았다고 한다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224160560880 이차방정식의 근의 공식우리나라의 한 대학교수가 세계의 수학을 움직이는 프린스턴 대학의 고등 연구소에서 실시된 수학 논문 발...blog.naver.com 2014. 5. 26.
7×9=? 어느 대(大) 수학자가 어린 학생들 앞에서 수학에 대해 강의를 하다가 7에다 9를 곱할 일이 생겼다.그러나 갑자기 7×9가 생각나지 않아 학생들에게 값이 얼마냐고 물었다.그러자 한 학생이 장난삼아 ‘61’이라고 대답하자 그는 ‘61’이라고 칠판에 적었다. 그러자 다른 학생이 놀린다고 ‘아녀요 69예요’라고 하자 그 수학자는 "답이 어떻게 두 개가 될 수 있느냐"면서 생각에 잠기더니 혼자 중얼거렸다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224205848672 7×9=61 (?)어느 대(大) 수학자가 어린 학생들 앞에서 수학에 대해 강의를 하다가 7에다 9를 곱할 일이 생겼다. 그러나...blog.naver.com 2014. 5. 26.
유연한 사고 기르기 1000에서 743을 빼면? https://m.blog.naver.com/pcswa/224160555507 유연한 사고(思考) 기르기1000에서 743을 빼면? 999에서 743을 빼고 1을 더하는 게 빠르다. 고정된 사고를 벗어나자, 사고는 유연하...blog.naver.com 2014. 5. 26.
백인 전용 교회 회사원 톰슨씨는 다른 주(州)로 출장을 가게 되었다. 톰슨씨는 흑인이었다. 그는 독실한 크리스천이었다. 일요일이 되어 예배를 보기 위해 출장지에 있는 교회를 찾게 되었다. 그러나 그는 예배에 참석할 수 없었다. 출입문에서 강력한 저지를 당했기 때문이었다. 백인 전용 교회이기 때문에 들여보낼 수가 없다는 것이었다. 예배시간이 되자 교회 문이 닫히고 톰슨씨는 교회 바깥에 혼자 남아 있게 되었다. 교회 안에서는 백인들의 찬송가 소리가 힘차게 울려 퍼지고 있었다. 눈보라가 몰아치는 겨울이었다. 톰슨씨는 너무나 슬퍼서 땅바닥에 주저앉아 울고 있었다. 그때였다. 예수님이 톰슨씨 앞에 나타났다. “그대는 왜 땅바닥에 주저앉아 울고 있는가.” 예수님은 톰슨씨에게 물었다. “백인 전용 교회라는 이유로 출입을 저지 당했기.. 2014. 5. 26.

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