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정신체조수학

동전 옮기기 게임

by mathpark 2014. 8. 16.
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그림과 같이 인접한 여덟 개의 정사각형으로 이루어진 판을 가지고 게임을 한다.

 


처음에 세 개의 동전이 그림과 같이 놓여 있다. 규칙은 한 개의 동전을 왼쪽으로 한 칸씩 옮기는 것이다. 각각의 동전은 다른 동전의 위 또는 아래에 겹칠 수 있다. 목표는 모든 동전을 가장 왼쪽 끝으로 옮기는 것이다. 마지막으로 동전을 옮기는 사람이 이긴다고 할 때, 먼저 시작하는 사람이 이 게임에서 이기기 위한 전략은 무엇인가?

 

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동전은 단지 왼쪽으로만 옮길 수 있고 오른쪽으로 결코 옮기지 못함을 주목하자.
왼쪽에 있는 동전부터 차례로 1번, 2번, 3번이라 하자. 게임을 한 번 할 때마다 1번 동전은 모두 세 번 움직여서 가장 왼쪽의 칸에 옮길 수 있다. 2번 동전은 모두 다섯 번 움직여서 가장 왼쪽의 칸에 옮길 수 있다. 3번 동전은 모두 일곱 번 움직여서 가장 왼쪽의 칸에 옮길 수 있다. 따라서, 동전을 옮기는 총 횟수는 어느 게임에서나 3+5+7=15회이다. 즉, 모든 게임에서 동전은 똑같이 홀수 번 움직이게 된다.

이렇게 동전을 옮길 때, 먼저 시작하는 사람은 1,3,5,7,9,11,13,15번째에 동전을 옮기게 된다. 다시 말해서 게임을 하면서 동전을 어떻게 옮기든지 마지막에는 먼저 시작하는 사람이 동전을 옮기게 된다.

결국 어떤 전략을 세우든지 먼저 시작하는 사람이 이기는 것이다.

 




- Steven G. Krantz <문제 해결의 수학적 전략> 中

 

 

 

 

 

 

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