본문 바로가기
정신체조수학

칩 가져가기

by mathpark 2014. 8. 16.

 

두 사람이 게임을 하고 있다. 이들은 칩 30개를 쌓아놓고 한 번에 1~6개의 칩을 가져갈 수 있다. 마지막 칩을 가져가는 사람이 게임에서 이긴다고 할 때, 먼저 시작한 사람이 항상 이길 수 있는 전략은 무엇일까?

 

더보기

 

먼저 가져가는 사람을 A, 두 번째로 가져가는 사람을 B라 하자. A가 확실히 이 게임에서 이길 수 있는 전략을 생각한다.

아이디어는 거꾸로 이 게임을 진행해 보는 것이다. 분명히 A는 마지막 자신의 차례에서 6개 이하의 칩이 남아 있기를 원한다. 그러면 남아 있는 칩들을 모두 가져오면서 게임에서 이길 수 있기 때문이다. 따라서 이보다 앞선 B의 차례에서는, B가 가져간 후에 A가 6개 이하의 칩을 가져갈 수 있는 만큼의 칩이 남아야만 한다.

가령 B의 차례에서 8개의 칩이 남아 있다고 하면, B는 1개의 칩만을 가져갈 것이고 A의 차례에는 7개의 칩이 남아 있게 된다. 이러한 상황은 A가 칩을 모두 가져갈 수 없기 때문에 A에게는 유리하지 않다. B의 차례에 9개 이상의 칩이 남아도 마찬가지다. A에게 유리한 상황은 B의 차례에 7개의 칩이 남아 있는 것이다. 이 때 B는 적어도 1개, 많아야 6개의 칩만을 가져갈 수 있기 때문에, A의 차례에는 6개 이하의 칩만이 남아 있게 되고, 따라서 A는 나머지 칩을 모두 가져갈 수 있다. 결국 A는 자신의 마지막 차례에 앞선 B의 차례에서 7개의 칩이 남기를 원한다.

이 결론으로부터 거꾸로 추론하여 똑같은 논리를 적용하면 A는 마지막에서 네 번째 차례에 B에게 14개의 칩이 남기를 원한다는 것을 알 수 있다. 그러면 B가 (1개에서 6개까지) 몇 개의 칩을 가져간다 해도 A는 마지막에서 세 번째 자신의 차례에서 B에게 7개의 칩을 남겨놓을 수 있게 된다. 우리는 이 상황이 A가 이기기 위한 상황임을 이미 알고 있다. (예를 들어 B의 차례에 14개의 칩이 남았을 때, B가 3개의 칩을 가져간다면 A는 4개의 칩을 가져갈 것이다.)

이러한 전략을 바탕으로 계속해서 생각하면, A는 마지막에서 여섯 번째 차례에 B에게 21개의 칩을 남겨 놓기를 원한다. 그리고 마지막에서 여덟 번째 차례에 B에게 28개의 칩을 남겨 놓기를 원한다.

이로써 문제는 해결된 셈이다. A는 처음에 2개의 칩을 가져가고 B의 차례에 28개의 칩을 남겨 놓는다. B가 (1개에서 6개까지) 몇 개의 칩을 가져가든지 A는 B의 차례에 21개의 칩이 남도록 칩을 가져가면 된다. 그리고 나서 B가 몇 개의 칩을 가져가든지 A는 B의 차례에 14개의 칩이 남도록 가져가면 된다. 다음에 B가 몇 개의 칩을 가져가든지 A는 B의 차례에 7개의 칩이 남도록 칩을 가져가면 된다. 이제 마지막으로 B가 몇 개의 칩을 가져가든지 마지막 차례에서 A는 나머지 칩을 모두 가져갈 수 있다.

 

 

 


- Steven G. Krantz <문제 해결의 수학적 전략> 中

 

 

 

 

 

 

728x90

'정신체조수학' 카테고리의 다른 글

콘웨이 수열  (2) 2014.08.18
동전 옮기기 게임  (0) 2014.08.16
결혼 문제  (0) 2014.08.11
37장의 편지  (0) 2014.08.06

댓글