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수학자34

미분의 발명과 분쟁 1675년에 독일의 저명한 철학자이자 수학자인 라이프니츠는 『분수에도, 무리수에도, 장애 없이 적용할 수 있는, 극대와 극소, 또한 접선에 대한 새로운 방법, 그리고 그것을 위한 특이한 계산법』이라는 긴 제목의 수학 논문을 발표하였는데, 이것이 미분학의 발명을 둘러싼 논쟁의 시발점이 되었다. 라이프니츠가 이 논문을 발표하기 10년 전, 이미 미분을 아이작 뉴턴이 알고 있었다. 뉴턴은 타원이 회전할 때 순간의 속도를 유율이라 정의하였는데 이것이 미분의 개념이다. 그는 이러한 개념을 동료의 권유로 책으로 출판하려 했지만 조금 미루다 결국 라이프니츠가 먼저 미분을 발표하게 된 것이다. 영국의 수학자들은 뉴턴이 미분의 창시자라고 생각했지만, 라이프니츠의 추종자들은 뉴턴이 그의 이론을 표절한 것이라 생각했다. 그.. 2020. 8. 25.
극한의 엄밀한 정의 미적분을 공부하다 보면 코시라는 수학자의 이름을 자주 듣게 된다. 특히 '코시-슈바르츠의 부등식'을 알고 있는 사람이면 코시라는 수학자의 이름을 이미 들어 봤을 것이다. 그는 수학과 물리학에 업적이 많다. 특히 극한이라는 개념의 엄밀한 정의를 만드는데 기초를 마련한 사람이다. 또한 과학아카데미에서 논문의 분량을 4페이지로 제한한 이유가 코시의 논문 양이 매우 많아서였기 때문이었다고 하는 웃지 못할 일화의 주인공이기도 하다. 코시는 프랑스 혁명 시기에 파리에서 태어났다. 정치적 혼란으로 인해 자주 이사를 했기 때문에 아버지에게 교육을 받았다. 그런데 당대 최고의 수학자인 라플라스와 라그랑주에게 재능을 인정받아 그들은 그에게 수학 공부를 권유하게 되었다. 1805년에 에콜 폴리테크니크에 입학하여 공학을 전공.. 2020. 8. 23.
테셀레이션의 아버지 Escher M.C. Escher는 네덜란드 출신의 판화가이다. 그의 작품들은 동일한 모양을 이용해 틈이나 포개짐 없이 평면이나 공간을 완전하게 덮는 '테셀레이션(Tessellation)'이라는 독특한 분야에 일가견이 있는 사람이었다. 단순한 기하학적 무늬에서 수학적 변환을 통한 반사, 미끄럼 반사, 평행이동, 회전의 기법을 이용해 정삼각형, 정사각형, 정육각형을 변형하여 동물, 새, 도마뱀, 개, 나비, 사람 등의 여러 형태로 변형시켰다. 그의 작품 가운데 『원형극한Ⅲ』은 테셀레이션의 기법을 이용하여 반복되는 그림의 극한을 잘 보여주고 있다. 그리고 『뫼비우스의 띠Ⅱ』에서 안과 밖이 구별되지 않는 뫼비우스의 띠를 무한히 반복되는 개미들의 행진으로 보여주고 있다. 그는 폴리아라는 수학자가 스케치한 17개의 벽지 디자.. 2020. 8. 21.
페르마의 마지막정리 다음의 정리를 『페르마(Fermat)의 대정리』 혹은 『Fermat의 마지막정리』라고 한다. 페르마는 직업적인 수학자가 아니라, 툴르즈 지방 의회에 소속된 법률가이자 치안 판사였다. 그는 수학에 대한 정규 교육을 받은 적도 없었지만, 수학에 강렬한 애착을 갖게 되었다. 그는 자신의 생존 기간 중 수학에 대해 사실상 아무 것도 출판하지 않았다. 그러나 그는 당시의 위대한 수학자들과 매우 많은 서신 왕래를 하였다. 이 유명한 마지막정리의 형식화에 이르는 과정은 매우 흥미롭다. 1453년 콘스탄티노플이 터키에 의해 함락되었을 때 비잔틴 학자들은 고대 그리스 문헌을 갖고 서유럽으로 피신했다. 그 중에는 당시까지 보관되던 디오판토스의 산학(arithemetica)이 있었다. 이 책은 후에 1621년 중 그리스 문.. 2020. 7. 16.
비에타의 방법 프랑스 앙리 4세의 궁정 고문관이며 수학자인 프랑수아 비에타(1540~1603)는 대수적 표기법을 개선하는 결정적인 단계를 밟았다. 유클리드 시대 이래로, 문자는 방정식에 들어갈 양을 나타내는 데 사용되었으나 찾아야 할 '미지(未知)의 양'과 알고 있다고 가정된 '기지(旣知)의 양'을 구별하는 방법은 없었다. 비에타는 알파벳의 대문자 중 모음은 현재 변수라 부르는 '미지의 양'을 나타내고, 자음은 주어진 것으로 가정된 '기지의 양'을 나타내자고 제안하였다. 간단하지만, 이런 관례는 계수가 지정된 수인 특정한 예를 다루어야만 했던 대수학을 해방시키는 엄청난 결과를 초래했다. 비에타의 문자 표기법이 도입되기 전에는 특정한 방정식에만 관심을 두어야 했다. 즉, 또는 과 같은 개별적인 방정식에 대한 그 자체의 .. 2015. 6. 30.
어떤 병사의 통찰력 때는 2차 세계 대전, 프랑스 어느 지역에서 낙하산으로 후방 침투하던 병사 하나가 나무에 걸렸다. 마침 나무 아래로 지나가던 사람이 있어서, 이곳이 어디냐고 물었다. 그랬더니, 그 사람이 한참을 생각하다가 "지상 11미터요."하고는 그냥 가 버리지 않는가. 이 말을 듣고, 이 병사는 그가 수학자라는 것을 다음 3가지 사실로부터 알 수 있었다. 첫째, 그의 대답이 나올 때까지 오랜 시간이 걸렸다. 둘째, 그의 대답이 매우 정밀하다. 셋째, 그의 대답이 아무 짝에도 쓸모가 없다. 2015. 5. 14.
요절한 천재수학자 아벨과 갈루아 이차방정식과 삼·사차방정식의 일반적인 해법(근의 공식과 같이 계수들의 사칙연산과 거듭제곱 및 제곱근의 연산만으로 해를 구하는 것)이 밝혀진 후 많은 수학자들이 꼴의 오차방정식의 일반적인 해법을 찾으려고 노력했다. 그러나 16세기 말 사차방정식의 해법을 발견한 이래 200여 년이 더 지난 19세기 초까지도 해법을 찾지 못했다. 그러나 1824년, 22세의 젊은 수학자 아벨(Abel, N. H. ; 1802~1829)이 '오차 이상의 방정식의 일반적인 해법은 존재하지 않는다.'는 사실을 증명했다. 그는 200년간 풀리지 않은 어려운 문제를 증명했으나 그 당시 수학계의 1인자인 가우스(Gauss, K. F. ; 1777~1855)조차도 이 논문을 읽어보지도 않고 쓰레기통에 버렸다고 한다. 그는 계속된 가난과 .. 2015. 4. 27.
기약다항식 판정법 자연수를 소인수분해하면 그 자연수에 대하여 보다 많은 것을 알게 된다. 자연수의 소인수분해의 중요성은 일찍부터 알려져 있었으며 여러 가지 계산에 소인수분해를 이용하였다. 유클리드(Euclid ; ? B.C. 325~? B.C. 265)의 원론(Elements)에는 '1보다 큰 자연수는 오직 한 가지 방법에 의한 소수의 곱으로 나타내어진다.'는 정리가 소개되어 있다. 그러나 자연수를 더 작은 자연수로 분해하여 보겠다는 생각이 다항식에 적용되기까지는 2000여 년의 시간이 걸렸다. 독일의 수학자 가우스(Gauss, K. F. ; 1777~1855)는 '일차 이상의 다항식은 기약다항식의 곱으로 유일하게 인수분해된다.'는 것을 증명하였는데, 그 이후로 자연수에서 소인수분해가 했던 역할이 다항식의 인수분해에도 그.. 2015. 4. 27.
평균으로의 회귀 어떤 식당에서 식사를 하였는데, 그 맛이 매우 좋아 다시 그곳을 찾았다가 실망한 경험이 한 번쯤은 있을 것이다. 이처럼, 맨 처음에는 평균을 훨씬 뛰어넘지만 두 번째는 평균값 이하로 되돌아오는 현상을 '평균으로의 회귀(Regression toward the mean)' 또는 '평균으로의 퇴보'라고 한다. 이는 주사위의 눈으로 설명이 가능하다. 주사위를 한 번 던졌을 때 나오는 눈의 기댓값은 3.5이다. 주사위를 처음 던졌을 때 기댓값보다 높은 숫자가 나왔다고 하면 다음 번에는 작은 숫자가 나올 확률이 높다. 예를 들어, 처음에 4의 눈이 나왔다고 하자. 다음 번에 4보다 작은 수 1, 2, 3이 나올 확률은 이고, 5나 6이 나올 확률은 로 두 번째에는 작은 숫자가 나올 확률이 크다. 즉, 한 번 평균을.. 2014. 12. 27.
원뿔곡선 이차곡선은 원뿔을 평면으로 자를 때 생기는 단면의 둘레로 나타나는 곡선이기도 하다. 이러한 뜻에서 이차곡선을 원뿔곡선이라고 한다. 원뿔곡선에 대한 연구는 기원전 4세기경 고대 그리스 시대부터 시작되었다. 처음으로 원뿔곡선을 정의한 사람은 메나이크모스(Menaechmos ; ?B.C.375~?B.C.320)이고, 원뿔곡선의 이론을 크게 발전시킨 사람은 아폴로니오스(Apollonios ; ?B.C. 262~?B.C.190)이다. 메나이크모스는 아래의 그림과 같이 원뿔의 꼭짓점에서 각의 크기 α가 직각보다 작은 예각원뿔 [그림1], α가 직각인 직각원뿔 [그림2], α가 둔각인 둔각원뿔 [그림3]을 그 한 모선에 수직인 평면으로 잘랐을 때의 단면을 연구하였다. 아폴로니오스는 메나이크모스와 같이 여러 가지 원뿔.. 2014. 12. 26.
힐베르트의 호텔 수학자 힐베르트(Hilbert, D. ; 1862~1943)가 만들어낸 '무한호텔'은 무한의 성질을 잘 보여주는 상황을 제공한다. 호텔의 이름에서 알 수 있듯이 무한호텔에는 무한개의 객실이 있어 무한히 많은 사람들이 투숙할 수 있다. 어느 날 한 손님이 무한호텔로 찾아왔는데, 객실이 무한개 있음에도 불구하고 비어 있는 방이 없었다. 그러자 호텔 종업원은 잠시 생각하던 끝에 새로 온 손님에게 빈방을 마련해 주었다. 어떻게 했을까? 새로 온 손님을 1호실로 안내하고, 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 3호실로 옮기는 식으로 투숙객들을 옆방으로 한 칸씩 이동시킨 것이다. 무한대에 1을 더해도 여전히 무한대이기 때문이다. 그런데 다음 날 밤, 호텔에는 더욱 곤란한 문제가 발생했다. 투숙객이 모두 객실을 차.. 2014. 12. 20.
튜링과 컴퓨터 미래학자 레이 커즈와일(Ray Kurzweil ; 1948~) 박사는 2025년에는 컴퓨터의 지능이 인간의 지능 수준과 같아지고 2050년이 되면 인류 전체와 컴퓨터 한 대의 지능 지수가 같아진다고 예측했다. 미래의 컴퓨터는 이처럼 똑똑해진다고 하지만 현재의 컴퓨터가 하는 일은 사칙계산에 불과하며, 컴퓨터는 매우 단순한 일을 반복적으로 빠르게 처리할 뿐이다. 그렇게 간단한 계산을 수행하는 컴퓨터가 어떻게 고도의 지적인 작업을 할 수 있을까? 그 비밀은 아무리 복잡한 일이라도 단순한 사칙계산으로 분해하고, 또 이를 컴퓨터가 알아들을 수 있는 프로그램으로 바꿀 수 있기 때문이다. 이런 과정에서 알고리즘과 순서도가 필요하다. 영국의 수학자 튜링(Turing, A ; 1912~1954)은 복잡한 과제를 단순한 .. 2014. 12. 20.
흐림 집합 이론(Fuzzy set theory) 집합이란 그 소속이 분명한 원소들의 모임이다. 그런데 분명히 집합이지만 그 원소를 구별하기가 애매한 경우가 종종 있다. 다음과 같은 예를 생각해 보자. 노란색 색종이의 집합을 A라고 할 때, 다음 중에서 집합 A의 원소는 어느 것인가? 이 경우에 집합 A의 원소가 ②뿐이라는 사람도 있겠지만, ②와 ⑤라고 생각하는 사람도 있을 수 있다. 물론, 다른 선택 역시 가능하다. 아래 그림 중에서 물이 들어 있는 컵은 어느 것인가? 이 경우에 답은 당연히 ①을 제외한 나머지 컵들이다. 그런데 ②의 경우에 우리는 '물이 아주 조금 있다' 또는 '물이 거의 없다'라고 표현할 수 있다. 즉 물이 없는 쪽에 훨씬 더 가깝다는 뜻이다. 이와 같이 어떤 대상이 한 집합의 원소인지 아닌지 애매한 상황을 수학적으로 구별하는 방법.. 2014. 12. 15.
천재 수학자들의 오류 이탈리아의 수학자 그란디(Grandi, L. ; 1671~1742)는 1703년에 무한급수 에 대하여 다음과 같은 두 가지 방법으로 서로 다른 합을 구하였다. 그는 급수의 합이 이처럼 두 가지 값이 될 수 없다고 생각하여 결국 이라고 결론을 내렸다. 왜냐하면 등식 에 을 대입하면 이 성립하기 때문이다. 또한 그는 로부터 , 즉 이라고 생각했다. 독일의 수학자 라이프니츠(Leibniz, G. W. ; 1646~1716)는 철학자 울프(Wolff, C. 1679~1754)에게 쓴 편지에서 그란디의 주장에 동조하면서 합 S가 0 또는 1이 될 확률이 같기 때문에 S는 확률의 이론에 의하여 그 평균인 이라고 하였다. 베르누이(Bernoulli, J. ; 1654~1705), 오일러(Euler, L. ; 1707.. 2014. 12. 13.
코흐의 눈송이 곡선 스웨덴의 수학자인 코흐(Koch, N. F. H. ; 1870~1924)는 1904년에 발표한 논문에서 넓이는 유한하지만 그 영역을 둘러싸고 있는 둘레의 길이는 무한히 긴 도형을 소개하였다. 이 도형을 만드는 방법은 다음과 같다. ❶ 정삼각형을 한 개 그린다. ❷ 정삼각형의 각 변을 3등분하여 가운데 부분을 지운 다음, 그 길이를 한 변의 길이로 하는 정삼각형을 그려서 변을 연결한다. ❸ ❷의 과정을 반복한다. 다음 그림은 위의 과정을 3번 반복한 것이다. 이 과정을 한없이 계속할 때 만들어지는 도형을 그의 이름을 붙여서 '코흐의 눈송이 곡선(Koch snowflake curve)'이라고 한다. 이 눈송이 곡선의 길이를 계산하기 위하여 처음 삼각형의 한 변의 길이가 어떻게 변하는지 알아보자. 위의 그림에.. 2014. 12. 13.
우박 수열 - 콜라츠 추측 독일의 수학자인 콜라츠(Collatz, L. ; 1910~1990)는 1937년에 다음과 같이 정의되는 자연수의 수열을 소개하였다. ❶ 이 홀수이면, ❷ 이 짝수이면, 이와 같은 수열이 어떤 성질을 갖는지 알아보자. 만약 이면 , , 이다.따라서 이 1, 2, 4인 경우에는 그 이후에 4, 2, 1이 반복되어 나타나게 된다. 예를 들면 다음과 같다. 이면 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, … 이면 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, … 이면 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, … 아래의 그래프는 일 때의 수열 을 그래프로 나타낸 것이다. 이 그래프는 마치 롤러코스터처럼 상승과 하강을 반복하다가 4, 2, 1이 반복되면서 안정된다 .. 2014. 12. 12.
아르키메데스의 실진법 그리스의 아르키메데스(Archimedes ; B.C. 287~ B.C. 212)는 역사상 가장 위대한 수학자의 한 사람인데, 가장 훌륭한 수학적 업적 중의 하나로 적분법의 연구를 꼽을 수 있다. 그는 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 그 안에 포함된 삼각형들의 넓이의 합으로 구하는 방법을 생각하였다. 예를 들어 포물선 과 축으로 둘러싸인 도형을 생각해보자. 위의 그림과 같이 꼭짓점 A(-1, 0), B(1, 0), C(0, 1)인 삼각형 ABC의 넓이는 1이다. 또 두 점 과 에 대하여 이다. 또 네 점 , , , 에 대하여 다음이 성립한다. 아르키메데스는 이 도형 안에 삼각형이 아무리 많이 있더라도 위에서와 같이 각 삼각형마다 두 개의 새로운 삼각형을 넣을 수 있고, 이렇게 해서 증가하는 넓이는.. 2014. 12. 12.
케플러의 적분 독일의 천문학자 케플러(Kepler, J. ; 1571~1630)는 천문학에서 행성의 세 가지 운동 법칙의 발견으로 주로 기억되고 있지만, 수학에서도 여러 가지 업적을 남겼다. 행성 운동의 제2 법칙은 '같은 시간에 행성과 태양을 연결하는 선분이 지나는 부분의 넓이는 서로 같다'라는 것이다. 현재와 같은 적분법이 탄생하기 전에 케플러는 이런 넓이를 자기 나름의 방법을 고안하여 계산했다고 한다. 이와 같은 행성 운동의 법칙이 발표된 이후 가장 먼저 제기된 의문은 왜 모든 행성이 타원 궤도를 그리면서 공전을 하느냐 하는 것이었다. 케플러는 그 이유가 태양과 행성 사이에 작용하는 인력 때문이라고 하면서, 인력은 태양과 행성 사이의 거리의 제곱에 반비례한다고 주장하였다. 케플러의 이와 같은 주장을 수학적으로 뒷.. 2014. 12. 11.
정규분포의 역사 정규분포(正規分布, normal distribution)에 대한 연구는 지난 수 세기에 걸쳐 이루어져 왔다. 프랑스의 수학자 라플라스(Laplace, P. S. ; 1749~1827)와 독일의 수학자 가우스(Gauss, K. F. ; 1777~1855) 등에 의하여 수학적인 체계가 갖추어 졌으며, 이후 물리학, 천문학 분야의 여러 학자들에 의하여 실제 자료를 설명하는 데 정규분포가 유용함이 확인되었다. 정규분포가 모든 자료를 설명할 수 있는 것은 아니지만 여러 분야에 가장 널리 이용되고 있는 확률분포이다. 정규분포는 프랑스의 수학자 드무아브르(de Moivre, A. ; 1667~1754)의 1733년 논문에서 처음으로 도입되었다. 드무아브르는 이항분포에서 시행 횟수 n이 클 때 확률의 근삿값을 극한을 .. 2014. 12. 11.
마방진(魔方陣, Magic Square) 마방진(魔方陣)은 지금으로부터 4,200년 전 중국 하(夏)나라의 우왕(禹王) 시대의 전설에서 탄생됐다. 우왕은 잦은 홍수로 황하(黃河)가 범람할 때마다 황하의 지류인 낙수(洛水)도 함께 범람하는 것을 막기 위해 공사를 하고 있었다. 그러던 어느 해에 강의 한가운데서 큰 거북이 나타나서 잡았는데, 이 거북의 등에 신비한 점 무늬가 새겨져 있었다고 한다. 이상하게 여긴 우왕이 이 거북의 등에 새겨진 무늬에 대해 알아보게 하였는데 당시 사람들은 그 무늬를 하늘이 보내준 것으로 믿고 귀하게 여겨 '낙수에서 얻은 글'이라는 뜻으로 '낙서(洛書)'라고 이름 지었다. 거북의 등에 새겨진 그림은 1부터 9까지의 자연수를 점의 개수로 나타낸 것이고 가로, 세로, 대각선 각각의 숫자의 합이 모두 15이다. 이 수표는 네.. 2014. 12. 9.
도박에서 출발한 확률 연구 17세기 중반 상류층 귀족인 드 메레(de Méré ; 1607~1684)는 주사위 한 개를 네 번 던질 때 6의 눈이 적어도 한 번은 나온다는 데 돈을 걸었다. 다른 사람들이 그와 내기를 하는 것이 현명하지 않다는 사실을 깨달을 때까지, 그는 이 내기로부터 상당한 이익을 얻었다. 그는 경험을 통해 진 경우보다 이긴 경우가 더 많다는 사실을 알고 있었다. 그렇지만 주사위 한 개를 네 번 던질 때 6의 눈이 적어도 한 번은 나올 확률이 , 즉 약 51.8%라는 사실은 알지 못했다. 충동적인 도박꾼이었던 드 메레는 또 다른 내깃거리를 찾아냈다. 주사위 두 개를 동시에 24번 던질 때, 나온 두 눈의 수의 합이 12가 되는 경우가 24번 중 적어도 한 번 있다는 데 돈을 걸기 시작한 것이다. 이 내기가 처음에.. 2014. 12. 8.

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