기약다항식 판정법

자연수를 소인수분해하면 그 자연수에 대하여 보다 많은 것을 알게 된다. 자연수의 소인수분해의 중요성은 일찍부터 알려져 있었으며 여러 가지 계산에 소인수분해를 이용하였다. 유클리드(Euclid ; ? B.C. 325~? B.C. 265)의 원론(Elements)에는 '1보다 큰 자연수는 오직 한 가지 방법에 의한 소수의 곱으로 나타내어진다.'는 정리가 소개되어 있다.

그러나 자연수를 더 작은 자연수로 분해하여 보겠다는 생각이 다항식에 적용되기까지는 2000여 년의 시간이 걸렸다. 독일의 수학자 가우스(Gauss, K. F. ; 1777~1855)는 '일차 이상의 다항식은 기약다항식의 곱으로 유일하게 인수분해된다.'는 것을 증명하였는데, 그 이후로 자연수에서 소인수분해가 했던 역할이 다항식의 인수분해에도 그대로 적용되었다.

일반적으로 기약다항식이란 더 낮은 차수의 다항식의 곱으로 표시되지 않는 다항식을 뜻한다. 계수가 정수인 다항식이 기약다항식인지를 판정하는 대표적인 방법으로는 'Eisenstein 판정법'이 있다. 계수가 정수인 다항식 에 대하여 다음 조건을 모두 만족하는 소수 가 존재하면 는 유리수의 범위에서 기약이다.

(ⅰ) 은 로 나누어떨어지지 않는다.
(ⅱ) 은 모두 로 나누어떨어진다.
(ⅲ) 은 으로 나누어떨어지지 않는다.

예를 들어, 는 Eisenstein 판정법을 만족하는 소수 가 존재하므로 유리수의 범위에서 더 이상 인수분해되지 않는 기약다항식이다.