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정신체조수학

아르키메데스의 실진법

by mathpark 2014. 12. 12.

그리스의 아르키메데스(Archimedes ; B.C. 287~ B.C. 212)는 역사상 가장 위대한 수학자의 한 사람인데, 가장 훌륭한 수학적 업적 중의 하나로 적분법의 연구를 꼽을 수 있다.
그는 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 그 안에 포함된 삼각형들의 넓이의 합으로 구하는 방법을 생각하였다.

예를 들어 포물선 축으로 둘러싸인 도형을 생각해보자.


위의 그림과 같이 꼭짓점 A(-1, 0), B(1, 0), C(0, 1)인 삼각형 ABC의 넓이는 1이다.
또 두 점 에 대하여 이다.
또 네 점 , , , 에 대하여 다음이 성립한다.



   
아르키메데스는 이 도형 안에 삼각형이 아무리 많이 있더라도 위에서와 같이 각 삼각형마다 두 개의 새로운 삼각형을 넣을 수 있고, 이렇게 해서 증가하는 넓이는 직전에 증가한 넓이의 이라는 사실을 증명하였다. 그러므로 구하려는 넓이는 다음과 같음을 알 수 있다.



   
이와 같이 아르키메데스는 주어진 영역에 포함되는 삼각형을 이용하여 영역의 넓이를 구하는 방법을 고안했던 것이다.
그는 주어진 도형의 넓이를 S라 하고 이 도형을 여러 개의 삼각형으로 나누어 그 넓이를 더한 합을 T라고 할 때, 일 수도 없고 일 수도 없음을 증명하여 임을 확인하였다.


이와 같은 방법을 '실진법(悉盡法, method of exhaustion)'이라고 한다.
아르키메데스는 수학적 지식을 실용적으로 활용한 최초의 수학자로 불릴 정도로 지레의 원리, 부력의 원리, 유체 역학 등의 연구와 발명에 큰 업적을 남겼다.





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