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정신체조수학

케플러의 적분

by mathpark 2014. 12. 11.

독일의 천문학자 케플러(Kepler, J. ; 1571~1630)는 천문학에서 행성의 세 가지 운동 법칙의 발견으로 주로 기억되고 있지만, 수학에서도 여러 가지 업적을 남겼다.
행성 운동의 제2 법칙은 '같은 시간에 행성과 태양을 연결하는 선분이 지나는 부분의 넓이는 서로 같다'라는 것이다. 현재와 같은 적분법이 탄생하기 전에 케플러는 이런 넓이를 자기 나름의 방법을 고안하여 계산했다고 한다.



이와 같은 행성 운동의 법칙이 발표된 이후 가장 먼저 제기된 의문은 왜 모든 행성이 타원 궤도를 그리면서 공전을 하느냐 하는 것이었다. 케플러는 그 이유가 태양과 행성 사이에 작용하는 인력 때문이라고 하면서, 인력은 태양과 행성 사이의 거리의 제곱에 반비례한다고 주장하였다.


케플러의 이와 같은 주장을 수학적으로 뒷받침한 사람은 영국의 수학자 뉴턴(Newton, I. ; 1642~1727)이다. 뉴턴이 케플러의 주장을 뒷받침하게 된 것은 핼리 혜성을 발견한 영국의 천문학자 핼리(Halley, E. ; 1656~1742)가 1684년에 뉴턴을 찾아가서 이 문제에 대하여 물어본 것이 계기가 되었다고 한다.


한편 케플러는 아래 그림과 같이 원을 여러 개의 부채꼴로 분할한 다음 이들을 번갈아 뒤집어 붙여서 평행사변형 모양을 만들어 원의 넓이를 계산하였다고 한다. 이 방법은 우리나라의 초·중등 교과서에도 소개되어 있다!



핼리와 뉴턴이 만난 지 3년이 지난 1687년에 뉴턴은 케플러와 갈릴레이(Galilei, G. ; 1564~1642)가 수년 동안의 실험을 통하여 발전시켰던 운동 법칙을 보완하여 미분 적분학의 시초가 되는 <프린키피아(Principia)>라는 책을 펴내게 된다.





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