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정신체조수학244

짜장면과 종이접기 우리는 종종 어떤 것을 반으로 나누는 것을 대수롭지 않게 여긴다. 하지만 자연수 중에서 1을 제외하고 가장 작은 수 2와 그것의 역수인 ‘반’, 즉 1/2의 위력은 우리가 생각하고 있는 것 이상으로 대단하다. 종이접기를 이용하여 반으로 나누는 것에 관하여 알아보자. 외국에서는 이 종이 반접기가 꾸준한 토론 거리가 될 만큼 관심을 받고 있다. 그리고 2001년 12월에 종이를 반으로 접는 문제를 ‘수학적으로’ 풀어낸 사람이 있었다. 당시 고등학생이었던 ‘브리트니 걸리반(Britney Gallivan)’이라는 여성은 종이를 반으로 접는 것에 관한 공식을 찾았을 뿐만 아니라 종이를 무려 12번 접어 보여 주위를 깜짝 놀라게 했다. 종이가 아무리 거대하거나 혹은 그 두께가 상상을 초월할 만큼 얇다하더라도 8번 .. 2014. 7. 21.
천재일우(千載一遇)와 확률 동진(東晋)의 학자로서 동양태수(東陽太守)를 지낸 원굉(袁宏)은 여러 문집에 시문 300여 편을 남겼다. 특히 그는 이라는 것을 썼는데, 이 책은 에 실려 있는 건국 명신 20명을 찬양하는 시와 서문을 쓴 글이다. 원굉은 그 중 위나라의 순문약(筍文若)을 찬양한 다음과 같은 글을 적고 있다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224160564947 천재일우(千載一遇)와 확률동진(東晋)의 학자로서 동양태수(東陽太守)를 지낸 원굉(袁宏)은 여러 문집에 시문 300여 편을 남겼다. 특...blog.naver.com 2014. 6. 5.
이차방정식의 근의 공식 우리 나라의 한 대학교수가 세계의 수학을 움직이는 프린스턴 대학의 고등연구소에서 실시된 수학논문 발표회에 참석하였다.논문 발표내용에 이차방정식의 답이 필요하자 발표자는 우리 나라 중학생들도 잘 아는 ‘근의 공식’에 대입하지 않고 일일이 귀찮은 완전 제곱의 방식으로 문제를 풀었다.이를 보고 의아하게 생각한 그가 발표가 끝난 후에 개인적으로 물어 보았다고 한다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224160560880 이차방정식의 근의 공식우리나라의 한 대학교수가 세계의 수학을 움직이는 프린스턴 대학의 고등 연구소에서 실시된 수학 논문 발...blog.naver.com 2014. 5. 26.
7×9=? 어느 대(大) 수학자가 어린 학생들 앞에서 수학에 대해 강의를 하다가 7에다 9를 곱할 일이 생겼다.그러나 갑자기 7×9가 생각나지 않아 학생들에게 값이 얼마냐고 물었다.그러자 한 학생이 장난삼아 ‘61’이라고 대답하자 그는 ‘61’이라고 칠판에 적었다. 그러자 다른 학생이 놀린다고 ‘아녀요 69예요’라고 하자 그 수학자는 "답이 어떻게 두 개가 될 수 있느냐"면서 생각에 잠기더니 혼자 중얼거렸다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224205848672 7×9=61 (?)어느 대(大) 수학자가 어린 학생들 앞에서 수학에 대해 강의를 하다가 7에다 9를 곱할 일이 생겼다. 그러나...blog.naver.com 2014. 5. 26.
유연한 사고 기르기 1000에서 743을 빼면? https://m.blog.naver.com/pcswa/224160555507 유연한 사고(思考) 기르기1000에서 743을 빼면? 999에서 743을 빼고 1을 더하는 게 빠르다. 고정된 사고를 벗어나자, 사고는 유연하...blog.naver.com 2014. 5. 26.
무한수열의 조합, 바둑 바둑은 간단히 말하면 바둑판 위에서 벌이는 생존경쟁 게임이다.정사각형 모양의 바둑판은 가로와 세로가 각각 19줄로 되어 있으며 이들이 겹치는 점이 361점이다.흑돌과 백돌로 편을 나누어 361점 위의 적당한 지점에 서로 번갈아 한 번씩 돌을 놓아 진을 치며 싸운 후, 차지한 점(집)이 많고 적음으로 승부를 가린다. 바둑은 그 수가 깊고 오묘하며 어디에 먼저 놓느냐에 따라 전혀 다른 싸움이 전개된다.또한 선택할 수 있는 가짓수가 너무 많기 때문에 일설에 의하면 바둑이 생긴 이후에 똑같은 판은 지금까지 없었다고 한다.실제로 바둑판에 바둑돌을 놓을 수 있는 가짓수는 모두 361!이다. 그렇다면 361!은 어떻게 계산하는 것일까? https://m.blog.naver.com/pcswa/22416026856.. 2014. 4. 22.
비트코인의 암호화 원리 ◆ 비트코인은 2009년에 ‘나가모토 사토시’라는 익명의 프로그래머에 의하여 개발된 가상의 화폐이자 이 화폐가 작동하는 방식이다. 쉽게 말해 ‘싸이월드 도토리’, ‘네이버 캐시’, ‘카카오톡 초코’와 같이 실제 돈은 아니지만 물건을 사거나 서비스 이용료를 결제할 수 있는 돈이다. 그런데 이런 돈과 비트코인의 가장 큰 차이점은 발행처이다. 현실세계에서 사용하는 실물화폐는 화폐의 거래를 담당하고 통화량을 조절하는 은행이 있다. 이를테면 우리나라의 경우 한국은행이 그런 은행이다. 또 ‘싸이월드 도토리’, ‘네이버 캐시’, ‘카카오톡 초코’ 등도 발행하는 곳과 사용하는 곳이 분명하다. 그러나 비트코인은 사용처는 있으나 발행처나 통화량을 조절하는 관리기관이 없다. 즉, 비트코인은 누구나 발행할 수 있고 누구나 사.. 2014. 2. 17.
문제풀이와 증명의 통쾌함과 즐거움 ◆ '불가능함'과 '존재하지 않음'을 증명하는 데에 순수 수학은 많은 관심을 기울입니다. 예컨대 "√2는 유리수가 아니다"라는 명제가 있지요. '유리수 표현이 존재하지 않음'을 증명하는 문제인데, 이런 부정적인(negative) 결과는 어디에 써먹을 수 있는 게 아니잖아요. 현실에선 쓸모가 없지만 수학자한테는 매우 중요한 문제입니다. 사실 고대 그리스 수학에서 성취한 가장 중요한 명제를 꼽으라면 바로 이것이었습니다. 이렇게 수학에서 '불가능함', '존재하지 않음' 같은 부정적인 논증은 훨씬 더 큰 깊이를 지니고 있습니다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224158205715 문제 풀이와 증명의 통쾌함과 즐거움◆ '불가능함'과 '존재하지 않음'을 증명하는 데에 순수 수학은 많은 .. 2014. 2. 11.
2014년은 갑오년, 이름은 어떻게 정할까? 2013년은 계사년(癸巳年)이었고 올해 2014년은 갑오년(甲午年)으로 불린다. 올해는 말의 해, 특히 ‘청마(靑馬)의 해’라고 한다. 매년 바뀌는 한 해의 이름들은 어떤 원리로 지어지는 걸까? 올해가 말의 해인 것처럼 매년 한 해를 책임질 동물이 정해진다. 사람의 띠를 나타내는 12 동물인 자(子, 쥐), 축(丑, 소), 인(寅, 호랑이), 묘(卯, 토끼), 진(辰, 용), 사(巳, 뱀), 오(午, 말), 미(未, 양), 신(申, 원숭이), 유(酉, 닭), 술(戌, 개), 해(亥, 돼지)를 땅에 사는 인간을 이롭게 한다하여 지지(地支)라고 한다. 또 하늘의 운행을 나타내는 10개의 갑(甲), 을(乙), 병(丙), 정(丁), 무(戊), 기(己), 경(庚), 신(辛), 임(壬), 계(癸)를 천간(天干)이라.. 2014. 1. 23.
That's Real Life 2013. 12. 17.
고교 수학 새 교육 과정(2014년 고1 적용) 2014년 고1부터 적용되는 고교 수학 새 교육과정을 한 눈에 알아보기 쉽도록 정리해 보았습니다. 이미지를 클릭하시면 좀더 선명하게 보실 수 있습니다. 참고하시어 학습 계획 세우는 데 모쪼록 도움이 되길 바랍니다. Excel로 제작한 것인데 혹시 원본 파일이 필요하신 분은 댓글로 이메일주소 남겨주시면 보내드리겠습니다. 2013. 12. 12.
13일의 금요일 13일의 금요일은 어떤 해에는 세 번도 있지만 대체로 1년에 두 번 정도 돌아온다. 그런데 13일의 금요일은 왜 불길하게 여겨지기 시작한 것일까? https://m.blog.naver.com/pcswa/224157148849 13일의 금요일13일의 금요일은 어떤 해에는 세 번도 있지만 대체로 1년에 두 번 정도 돌아온다. 그런데 13일의 금요일은 ...blog.naver.com 2013. 9. 14.
자연 속의 중간값의 정리 자연 현상이나 일상생활에는 연속인 함수로 표현할 수 있는 것들이 많이 있다.기온이나 물체의 속도는 시간에 따라 연속적으로 변하므로 닫힌 구간에서 연속인 함수로 나타낼 수 있으며 그 함수에 대하여 중간값의 정리가 성립한다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224154929839 자연 속에 존재하는 중간값의 정리자연 현상이나 일상생활에는 연속인 함수로 표현할 수 있는 것들이 많이 있다. 기온이나 물체의 속도는 시...blog.naver.com 2013. 6. 16.
무리수 e의 다양한 표현 https://m.blog.naver.com/pcswa/224154829255 무리수 e의 다양한 표현극한을 이용하여 다음의 값을 무리수 e로 정의한다. 여기서는 오일러(Euler, L. ; 1707~1783)가 사용한 ...blog.naver.com 2013. 4. 30.
푸리에 급수 1822년 프랑스의 수학자 푸리에(Fourier, J. B. J. ; 1768~1830)는 세상의 어떤 복잡한 움직임이나 운동이라도 그것이 주기적이라면 삼각함수인 사인함수와 코사인함수로 이루어진 급수로 표현할 수 있다는 사실을 발견하였다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224154807929 푸리에 급수1822년 프랑스의 수학자 푸리에(Fourier, J. B. J. ; 1768~1830)는 세상의 어떤 복잡한 움직임이나 운...blog.naver.com 2013. 4. 30.
Q.E.D. Q.E.D.는 라틴어 문장 "Quod erat demonstrandum"의 약자이다. 이것은 유클리드와 아르키메데스가 자주 쓰던 그리스어 문장 "ὅπερ ἔδει δεῖξαι" (hóper édei deĩxai)를 라틴어로 옮긴 것으로, 직역하면 "이것이 보여져야 할 것이었다"가 된다. 이 약자는 수학에서 증명을 마칠 때 자주 사용한다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224153681801 Q.E.D.의 뜻Q.E.D.는 라틴어 문장 "Quod erat demonstrandum"의 약자이다. 이것은 유클리드와 아르키메...blog.naver.com 2013. 4. 9.
4차원 공간 차원은 각각의 공간 속에서 점을 독립적으로 지정하는 데 필요한 좌표의 수를 지칭하는 개념이다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224181817552 4차원 공간차원은 각각의 공간 속에서 점을 독립적으로 지정하는 데 필요한 좌표의 수를 지칭하는 개념이다. 직선 위...blog.naver.com 2013. 3. 25.
비트맵 형식과 벡터 형식 이미지 파일은 저장 방식에 따라 비트맵 형식과 벡터 형식으로 나누어진다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224153654539 비트맵 형식과 벡터 형식이미지 파일은 저장 방식에 따라 비트맵 형식과 벡터 형식으로 나누어진다. 비트맵 형식은 그림을 점의 집...blog.naver.com 2013. 3. 25.
사이클로이드 사이클로이드 위의 어떤 점에서 출발하더라도 정점에 이르는 시간이 같다.사이클로이드는 출발점에서 도착점으로 가는 가장 빠른 경로이다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224153548112 사이클로이드다음 그림과 같이 반지름의 길이가 r인 원을 축을 따라 미끄러지지 않도록 굴릴 때 원 위의 점 P가 그리는...blog.naver.com 2013. 3. 17.
적분의 활용 - 컴퓨터 단층 촬영 장치 교통사고 등으로 머리를 강하게 부딪쳤을 때에는 상태를 신중히 살펴봐야 한다. 외상이 거의 없어 보여도 내출혈이 있을 수 있기 때문이다. 이때 머리의 내부 상황을 알아보기 위해 사용하는 것이 ‘(컴퓨터 단층 촬영 장치) 스캔’이다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224153532880 적분의 활용교통사고 등으로 머리를 강하게 부딪쳤을 때에는 상태를 신중히 살펴봐야 한다. 외상이 거의 없어 보여도 ...blog.naver.com 2013. 3. 17.
생활 속의 미분적 사고 변화를 연구하는 미분학에서는 미분적 사고를 필요로 한다. 우리 생활 전반에 걸쳐 찾을 수 있는 미분적 사고를 살펴보자. https://m.blog.naver.com/pcswa/224179096569 생활 속의 미분 활용 ; 무인 단속 카메라, 애니메이션[무인 단속 카메라] 고정식 무인 카메라는 일종의 감지선으로 카메라 전방 20~30m 앞에 사각형으로 그려져 ...blog.naver.com >> 관련글 : 2020/08/24 - [정신체조수학] - 생활 속의 미분 활용 2013. 3. 4.
아르키메데스의 발명품 포물선의 축에 평행하게 입사한 광선은 반사하여 포물선의 초점을 지나간다는 성질을 처음으로 이용한 사람은 아르키메데스(Archimedes ; B.C.287~ B.C.212)라고 한다.아르키메데스는 수학과 물리학을 이용하여 많은 발명품을 만들었다. 당시 아르키메데스의 고국인 시라쿠사는 로마에 끝까지 대항하였다. 이때 아르키메데스는 새로운 무기를 발명하여 수적인 열세를 극복하고 전투를 승리로 이끌기도 하였다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224152438458 포물선의 광학적 성질포물선의 축에 평행하게 입사한 광선은 반사하여 포물선의 초점을 지나간다는 성질을 처음으로 이용한 사람...blog.naver.com 2013. 3. 4.
마리엔바트 놀이 레스토랑에서 주문한 음식이 바로 나오지 않고 시간이 걸릴 때, 우리는 이따금 따분함을 느낀다. 특히 자기와 마주 앉아 있는 사람이 재미난 이야깃거리를 전혀 가지고 있지 않을 때는 더욱 그러하다.바로 그러한 때에 식당 종업원이 음식을 가져다주기를 기다리면서 심심풀이로 할 수 있는 간단한 놀이가 있다. 바로 마리엔바트[각주:1]의 게임에서 유래한 놀이이다.성냥개비나 궐련이나 이쑤시개 따위를 식탁 위에 다음과 같이 옆으로 늘어놓는다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224152414865 마리엔바트 놀이의 필승 전략레스토랑에서 주문한 음식이 바로 나오지 않고 시간이 걸릴 때, 우리는 이따금 따분함을 느낀다. 특히 자기...blog.naver.com 2013. 2. 25.
영(0)이라는 수 영은 기원전 2세기 중국의 산술이나(점으로 표시) 그보다 훨씬 앞서 마야인들의 문명에서(나선으로 표시) 그 자취를 찾아볼 수 있다. 하지만, 우리가 사용하는 영은 인도에서 유래한 것이다. 7세기에 페르시아인들은 인도인들의 영을 모방했다. 몇 세기 후에 아라비아인들이 페르시아인들로부터 그 수를 빌려 왔고 그것에 우리가 알고 있는 이름을 붙였다(아라비아 말로 시파는 을 뜻한다). 유럽에는 13세기가 되어서야 이탈리아의 수학자 레오나르도 피보나치의 소개로 영의 개념이 도입되었다. 피보나치(필리오 디 보나치를 줄여 부르는 것일 가능성이 많다)는 피사의 레오나르도라고도 불렸는데, 그 별명과는 달리 베네치아의 상인이었다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224152385895 영(0)이라는 .. 2013. 2. 22.
심리 역이용 게임 수학자 호프스태터는 그의 저서 『괴델, 에스허르, 바흐』에서 매우 흥미로운 게임 하나를 소개하고 있다. 두 사람이 노는 게임으로 그 어떤 카드도 말도 필요 없고, 오직 두 개의 손만 있으면 되는 게임이다. 신호와 함께 두 참가자는 각자 손을 내밀고, 1에서 5까지의 수 중 하나를 손가락으로 표시한다. 이때 더 높은 수를 낸 사람이 두 사람이 낸 수의 차이만큼을 점수로 얻는다. 예를 들어 한 사람이 5를 내고, 한 사람이 3을 냈다면, 5를 낸 사람이 5-3, 즉 2점을 획득한다. 그렇게 해서 얻은 점수를 0점부터 더해 나간다. 그렇다면 언제든 5만 내면 될 것 아닌가? ......하지만 이 첫 번째 규칙을 보충하는 두 번째 규칙이 있다. 두 사람 사이의 차이가 1점이 되는 경우, 작은 수를 낸 사람이 두.. 2013. 1. 31.
수학사를 활용한 교재연구 - 가타노 젠이치로 ◆ 기능훈련적인 지도는 수학을 싫어하는 원인도 된다. 아집이 있는 학생들은 왜 이런 틀에 박힌 재미없는 연습을 해야 하는지 의문을 가져버려서 수학을 싫어하게 되는 것이다. 중학교에서 가르칠 때, 이차방정식의 해를 구하는 공식을 가르쳐주고 연습문제를 풀라고 하면, 학생 중에는 문제를 풀지 않고 노는 학생도 있다. "왜 안하니?"라고 물으면, 숫자를 공식에 대입하면 답이 나온다는 것을 알고 있기 때문에 할 필요가 없다고 답한다. 그는 성적이 좋은 학생이었다. 이러한 연습만 반복한다면, 수학에서는 모든 것이 결정적으로 분명하여 더 이상 새로운 사고가 들어갈 여지가 없는 것은 아닐까 하는 생각마저도 하게 된다. 그렇게 된다면 과학교육은 완전히 실패이다. ◆ 학생에게 요구되는 수학적 자질은 단순히 수학의 지식이나.. 2012. 12. 14.
원주율의 계산 아르키메데스(Archimedes ; B.C.287~B.C.212)는 원의 둘레의 길이는 내접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 크고, 외접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 작다는 사실에 착안하여 원주율의 근삿값을 소수점 아래 둘째 자리까지 정확하게 구했다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224152052342 아르키메데스의 원주율 계산는 원의 둘레의 지름에 대한 비율인 원주율이다. 모든 원은 닮음이므로 원의 둘레의 길이는 그 지름의 길이...blog.naver.com 2012. 11. 13.
아주 큰 소수를 찾아라 컴퓨터를 이용하여 97이 소수인지 합성수인지를 알아내기 위해서 다음 그림과 같은 순서도를 이용할 수 있다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224152041075 아주 큰 소수를 찾아라컴퓨터를 이용하여 97이 소수인지 합성수인지를 알아내기 위해서 다음 그림과 같은 순서도를 이용할 수 있...blog.naver.com 2012. 11. 13.
체스에 얽힌 등비수열 인도의 수학자 세타는 재미있는 놀이를 만들어 달라는 왕자의 부탁으로 체스라는 서양 장기를 만들었다.왕자는 재미있는 놀이를 할 수 있게 해 준 세타에게 상을 내리고 싶어 원하는 것은 무엇이든 들어주겠다고 약속했다.세타는 64개의 칸으로 되어 있는 체스판의 첫 번째 칸에는 수수 한 알, 두 번째 칸에는 수수 두 알, 세 번째 칸에는 수수 네 알, 네 번째 칸에는 숫 여섯 알과 같이 그 앞 칸에 놓인 수수알의 두 배를 채워 달라고 하였다.왕자는 대수롭지 않게 세타의 제안을 받아들였다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224152005308 체스에 얽힌 등비수열인도의 수학자 세타는 재미있는 놀이를 만들어 달라는 왕자의 부탁으로 체스라는 서양장기를 만들었다. 왕...blog.naver.com 2012. 11. 8.
쾨니히스베르크의 다리와 일필휘지(一筆揮之) 프로이센의 소도시 쾨니히스베르크(Königsberg)는 철학자 칸트가 평생을 지낸 도시로 유명하다. 칸트는 매일 같은 시간에 산책을 하여 사람들이 그가 산책하는 것을 보고 시계를 맞추었다는 일화가 전해 오는 곳이다. 이 도시는 수학과 관련해서도 기념비적인 곳이다. https://m.blog.naver.com/pcswa/224151994305 쾨니히스베르크의 다리와 일필휘지(一筆揮之)프로이센의 소도시 쾨니히스베르크(Königsberg)는 철학자 칸트가 평생을 지낸 도시로 유명하다. 칸트는 ...blog.naver.com 2012. 11. 3.

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