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정신체조수학

4차원 공간

by mathpark 2013. 3. 25.

차원은 각각의 공간 속에서 점을 독립적으로 지정하는 데 필요한 좌표의 수를 지칭하는 개념이다. 직선 위의 점은 기준점을 설정하고 한 개의 변수를 사용하여 로 나타낼 수 있으므로, 직선은 1차원 공간이다. 좌표평면은 그 위의 점을 두 개의 변수를 사용하여 로 나타낼 수 있으므로 2차원 공간이다. 교과서에서 공부한 좌표공간은 그 위의 점을 세 개의 변수를 사용하여 로 나타낼 수 있으므로 3차원 공간이다. 


이와 같은 생각을 확장하여 일반적인 n차원 좌표공간을

와 같이 나타낼 수 있다.


3차원 공간의 세 좌표축에 모두 수직인 제4의 좌표축을 갖는 공간이 4차원 공간이다. 4차원 공간은 실재하지 않는 추상적 공간으로 여겨지기도 하지만, 물리학이나 우주론의 이론을 설명하는 데 사용된다. 아인슈타인(Einstein, A. ; 1879~1955)은 우주를 3차원 공간에 시간의 축이 더해진 4차원 공간으로 생각하였다고 한다.





n차원 도형을 그 도형을 포함하지 않는 공간으로 평행이동하면 n+1차원의 도형을 얻을 수 있다. 이를테면 3차원의 단위정육면체를 시간의 축을 따라 단위길이만큼 평행이동하면 4차원의 단위정육면체를 만들 수 있다.


다음 그림은 n차원 도형에서 n+1차원의 도형을 만들어 내는 과정을 보여준다.







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