사이클로이드

다음 그림과 같이 반지름의 길이가 인 원을 축을 따라 미끄러지지 않도록 굴릴 때 원 위의 점 가 그리는 점의 자취를 사이클로이드라고 한다. 반지름의 길이가 인 원 위의 점 가 원점에서 출발하여 각 만큼 회전했을 때의 위치는 

로 나타난다.

위의 그림에서 아치 한 개의 곡선의 길이는 적분을 이용하여 구할 수 있다.

사이클로이드 위의 어떤 점에서 출발하더라도 정점에 이르는 시간이 같다. 위의 [그림 1]과 같은 사이클로이드 미끄럼틀을 타는 세 어린이 A, B, C는 같은 시각에 출발하면 바닥에 도착하는 시간이 같다.

사이클로이드는 출발점에서 도착점으로 가는 가장 빠른 경로이다.

위의 [그림 2]에서 직선과 사이클로이드 중 어느 경로 위의 공이 바닥에 먼저 도착할까? 바로 사이클로이드이다. 사이클로이드는 초기에 충분한 중력 가속도를 받아서 내려오고 완만한 부분에서는 관성력이 작용하여 가장 빨리 도착지에 도착하게 된다.

독수리는 땅 위에 있는 들쥐를 잡을 때 본능적으로 사이클로이드 곡선 형태에 가깝게 낙하하여 최단 시간에 먹이를 낚아챌 수 있도록 하강한다고 한다. 우리나라의 전통 가옥의 기와와 초가지붕의 처마, 물고기의 둥근비늘(원린) 등도 역시 사이클로이드 모양을 하고 있다.