본문 바로가기

오일러7

세상의 모든 공식 - 존 M. 헨쇼 ◆ 세상에는 오로지 10가지 인간이 존재할 뿐이다. 이진법을 아는 인간과 그렇지 못한 인간. ◆ π와 관련된 경쟁은 또 있다. 이 경쟁은 더 오싹하다. 여기에는 귀와 귀 사이의 피와 살로 된 컴퓨터가 동원된다. 바로 π값 외우기 경쟁이다. 기록이 꾸준히 갱신된 끝에, 현재 기록보유자는 6만 7,890자릿수까지 외워서 기네스북에 오른 어떤 중국인이다. 이 사람은 총 24시간 4분에 걸쳐서, 숫자 하나당 1.28초의 속도로, π를 6만 7,890자리까지 한 번도 틀리지 않고 암송했다. ◆ 수학자 겸 작가 데이비드 웰스(David Wells)가 수학공식의 아름다움을 평가하는 나름의 판단기준을 제시했다. 웰스에 따르면, 아름다운 수학공식의 조건은 단순함, 간결함, 중요성, 놀라움이다. 오일러 항등식(Euler'.. 2019. 11. 5.
천재 수학자들의 오류 이탈리아의 수학자 그란디(Grandi, L. ; 1671~1742)는 1703년에 무한급수 에 대하여 다음과 같은 두 가지 방법으로 서로 다른 합을 구하였다. 그는 급수의 합이 이처럼 두 가지 값이 될 수 없다고 생각하여 결국 이라고 결론을 내렸다. 왜냐하면 등식 에 을 대입하면 이 성립하기 때문이다. 또한 그는 로부터 , 즉 이라고 생각했다. 독일의 수학자 라이프니츠(Leibniz, G. W. ; 1646~1716)는 철학자 울프(Wolff, C. 1679~1754)에게 쓴 편지에서 그란디의 주장에 동조하면서 합 S가 0 또는 1이 될 확률이 같기 때문에 S는 확률의 이론에 의하여 그 평균인 이라고 하였다. 베르누이(Bernoulli, J. ; 1654~1705), 오일러(Euler, L. ; 1707.. 2014. 12. 13.
마방진(魔方陣, Magic Square) 마방진(魔方陣)은 지금으로부터 4,200년 전 중국 하(夏)나라의 우왕(禹王) 시대의 전설에서 탄생됐다. 우왕은 잦은 홍수로 황하(黃河)가 범람할 때마다 황하의 지류인 낙수(洛水)도 함께 범람하는 것을 막기 위해 공사를 하고 있었다. 그러던 어느 해에 강의 한가운데서 큰 거북이 나타나서 잡았는데, 이 거북의 등에 신비한 점 무늬가 새겨져 있었다고 한다. 이상하게 여긴 우왕이 이 거북의 등에 새겨진 무늬에 대해 알아보게 하였는데 당시 사람들은 그 무늬를 하늘이 보내준 것으로 믿고 귀하게 여겨 '낙수에서 얻은 글'이라는 뜻으로 '낙서(洛書)'라고 이름 지었다. 거북의 등에 새겨진 그림은 1부터 9까지의 자연수를 점의 개수로 나타낸 것이고 가로, 세로, 대각선 각각의 숫자의 합이 모두 15이다. 이 수표는 네.. 2014. 12. 9.
다기망양(多岐亡羊)과 미로 미로라고 하면 종이 위에 그려진 퍼즐이나 어린이 공원 같은 데 있는 미로를 생각하겠지만, 미로는 인간의 실생활에서도 쉽게 볼 수 있다. 미로가 실생활에 사용된 실제적인 예는 고대 이집트의 피라미드에서 찾아볼 수 있다. 피라미드 속에는 죽은 왕과 함께 갖가지 보물들을 넣어 두었는데, 그 보물들을 도적이 훔쳐가지 못하도록 하기 위해 미로를 만들었다. 모험 영화인 ‘인디애나 존스’, ‘미이라’, ‘해리포터’에서도 미로를 헤매고 다니는 주인공들을 흔히 볼 수 있다. 이 밖에도 유럽에서는 궁전의 안뜰에 미로를 만들어 공격해 온 적을 안으로 유인해 전멸시켰다는 전설도 있다. 영국의 브라이트라는 사람은 라는 책을 쓰고, 1971년에는 1.6km이상 되는 미로 정원을 만들었다고 한다. 그 후, 그는 런던의 서쪽 롤리트.. 2014. 10. 20.
무리수 e의 다양한 표현 극한을 이용하여 을 무리수 로 정의한다.여기서는 오일러(Euler, L. ; 1707~1783)가 사용한 방법을 알아보자.그는 무한급수와 무한연분수를 사용하여 무리수 를 표현하였다. (1) 무리수 를 무한급수로 표현 (2) 무리수 를 무한연분수로 표현는 무리수이기 때문에 소수로 나타내면 어떠한 규칙성도 찾아볼 수 없다. 그런데 아래와 같이 무한연분수를 사용하면, 를 다음과 같이 규칙적으로 나타낼 수 있다. 위의 두 번째 연분수는 다음과 같이 분자를 제외하고 간단히 나타내기도 한다. 2013. 4. 30.
원주율의 계산 는 원의 둘레의 지름에 대한 비율인 원주율이다. 모든 원은 닮음이므로 원의 둘레의 길이는 그 지름의 길이에 비례하며, 이때의 비례상수, 즉를 원주율이라고 한다. 아르키메데스(Archimedes ; B.C.287~B.C.212)는 원의 둘레의 길이는 내접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 크고, 외접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 작다는 사실에 착안하여 원주율의 근삿값을 소수점 아래 둘째 자리까지 정확하게 구했다. 그는 원에 내접하는 정6각형과 외접하는 정6각형을 그렸고, 이 그림에서부터 정다각형의 변의 개수를 두 배씩 늘려서 원에 내접, 외접하는 정12각형, 정24각형, 정48각형을 그리고, 마침내 정96각형까지 같은 방법으로 그려냈다. 원의 둘레의 길이가 내접하는 정96각형의 둘레의 길이보다는 크고, .. 2012. 11. 13.
쾨니히스베르크의 다리와 일필휘지(一筆揮之) 프로이센의 소도시 쾨니히스베르크(Königsberg)는 철학자 칸트가 평생을 지낸 도시로 유명하다. 칸트는 매일 같은 시간에 산책을 하여 사람들이 그가 산책하는 것을 보고 시계를 맞추었다는 일화가 전해 오는 곳이다. 이 도시는 수학과 관련해서도 기념비적인 곳이다. 쾨니히스베르크 도시를 관통하는 프레겔 강에는 2개의 섬이 있고 이들 섬과 육지는 7개의 다리로 연결되어 있다. 당시 사람들은 '같은 다리를 두 번 건너지 않고, 모든 다리를 건널 수 있을까?'하는 문제를 생각했는데 이를 '쾨니히스베르크의 다리 문제'라고 한다. 쾨니히스베르크의 다리 문제는 연필을 떼지 않고 한 번에 그리는 한붓그리기, 곧 '일필휘지(一筆揮之)'가 가능한가의 문제라고도 할 수 있다. 쾨니히스베르크의 다리 문제를 해결하기 위해 여.. 2012. 11. 3.