힐베르트의 호텔

 

수학자 힐베르트(Hilbert, D. ; 1862~1943)가 만들어낸 '무한호텔'은 무한의 성질을 잘 보여주는 상황을 제공한다.

 

 

호텔의 이름에서 알 수 있듯이 무한호텔에는 무한개의 객실이 있어 무한히 많은 사람들이 투숙할 수 있다.

어느 날 한 손님이 무한호텔로 찾아왔는데, 객실이 무한개 있음에도 불구하고 비어 있는 방이 없었다. 그러자 호텔 종업원은 잠시 생각하던 끝에 새로 온 손님에게 빈방을 마련해 주었다. 어떻게 했을까?

 

새로 온 손님을 1호실로 안내하고, 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 3호실로 옮기는 식으로 투숙객들을 옆방으로 한 칸씩 이동시킨 것이다.
무한대에 1을 더해도 여전히 무한대이기 때문이다.

그런데 다음 날 밤, 호텔에는 더욱 곤란한 문제가 발생했다. 투숙객이 모두 객실을 차지한 상태에서 무한 명의 손님이 새로 도착한 것이다. 무한호텔에서는 당황하기는커녕 무한대의 숙박료를 더 받을 수 있다며 쾌재를 불렀다. 다음과 같은 안내 방송을 하여 상황을 해결한 것이다.

 

"손님 여러분, 죄송하지만 현재 묵고 계신 객실 번호에 2를 곱해서, 그 번호에 해당되는 객실로 모두 옮겨 주시기 바랍니다."

1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 4호실로, ……. 모두 이동을 마쳤고, 덕분에 새로 도착한 손님들은 홀수 번호가 붙어 있는 무한개의 객실에 배정되어 편히 쉴 수 있었다.

무한대에 2를 곱해도 여전히 무한대이기 때문이다.