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정신체조수학

피보나치수열과 황금비

by mathpark 2014. 12. 15.
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수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 중 하나는 피보나치수열이다. 피보나치수열이라는 이름은 인도-아라비아 숫자를 유럽에 전파하는 데 큰 공헌을 했12세기 이탈리아의 수학자 레오나르도 피보나치(Fibonacci. L. ; 1170~1250?)가 그의 저서 <계산서(Liber Abachi)>에 다음과 같은 내용을 수록하면서 붙여졌다.

 

한 농장에서 갓 태어난 토끼 암수 한 쌍이 있다. 한 쌍의 토끼는 생후 1개월 뒤에 다 자라고, 다 자라면 한 달마다 다시 암수 한 쌍을 낳는다. 어떤 토끼도 죽지 않는다고 가정할 때, 1년이 지난 후에 토끼는 모두 몇 쌍이 될까?


위의 규칙성을 그림으로 나타내면 아래와 같다.

 

 

 

이때, n개월 뒤에 토끼가

쌍이 된다고 하면,

같이 연속한 항의 합이 그 다음 항이 되는 피보나치수열

을 얻는다.

단순한 흥밋거리에 불과할 수도 있는 이 수열은 그러나 수학의 여러 분야와 컴퓨터 과학 등에서 매우 의미있게 응용된다.
실제로 피보나치 수열과 이와 관련된 사실을 주로 다루는 학술지인 <피보나치 계간지>도 있을 정도다.

그런데 더욱 놀라운 점은 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다는 사실이다. 많은 식물의 꽃잎 수, 앵무조개의 단면, 해바라기씨나 파인애플, 솔방울의 시계 방향과 시계 반대 방향의 나선의 개수에서 피보나치수열의 항을 발견할 수 있다.
가령 식물의 줄기에서 뻗어 나온 잎(또는 봉우리 또는 가지)을 생각해 보면, 줄기의 밑 근처에 있는 어떤 잎 하나에서 수직으로 위에 있는 잎까지 도달할 때까지 줄기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면, 그 수는 보통 피보나치수열의 항이 된다.

 


일반적으로 피보나치수열은

로 정의되는데, 피보나치수열의 연속된 두 항 사이의 비

의 값은 다음과 같은 모양으로 나타낼 수 있다.

 


이때, 피보나치수열의 이웃한 두 항의 비

은 황금비

로 수렴함이 알려져 있다.

 

 

 

 

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