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정신체조수학

다음 10개의 보기 중 참인 것은 몇 개인가?

by mathpark 2011. 4. 4.

 

1. 이 문장들 중 하나만이 거짓이고 나머지는 참이다.
2. 이 문장들 중 두 문장이 거짓이고 나머지는 참이다.
3. 이 문장들 중 세 문장이 거짓이고 나머지는 참이다.
4. 이 문장들 중 네 문장이 거짓이고 나머지는 참이다.
5. 이 문장들 중 다섯 문장이 거짓이고 나머지는 참이다.
6. 이 문장들 중 여섯 문장이 거짓이고 나머지는 참이다.
7. 이 문장들 중 일곱 문장이 거짓이고 나머지는 참이다.
8. 이 문장들 중 여덟 문장이 거짓이고 나머지는 참이다.
9. 이 문장들 중 아홉 문장이 거짓이고 나머지는 참이다.
10. 이 문장들 모두 거짓이다.

 

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1번이 참이라고 가정해보자. 그러면 2번부터 10번까지 중 참인 문장이 8개가 된다.
2번과 3번이 동시에 참인 경우는? 결코 있을 수 없다.
왜냐하면 두 문장이 거짓인 것도 참이고 세 문장이 거짓인 것도 함께 참이 될 수 없기 때문이다.
그럼 2번이 참이라고 가정해보자. 마찬가지로 나머지 아홉 문장 중 여덟 문장이 참이다.
이 문제에서는 결코 두 개 이상의 문장이 동시에 참이 될 수는 없다.
그래서 또 앞뒤가 맞지 않게 되는데.. 그렇다면 모든 문장들이 거짓?
이번에는 10번이 참이 돼 모순이 생긴다.
고로 적어도 한 문장은 참이고 10번은 거짓일 수 밖에 없다. 과연 참인 문장은?
위의 힌트에 섣부른 일반화에 대한 함정이 있다.
1번, 2번, …, 8번까지는 각 경우가 참일 때 참인 문장이 적어도 두 개 이상이 돼 모순이 생긴다.
힌트에서처럼 1번부터 8번까지는 모두 거짓일 수 밖에 없다.
9번의 경우는 달라서 9번이 참이면 나머지가 모두 거짓이 되고 논리는 성립된다.
10번이 참이라면 모든 문장이 거짓이 되야 하므로 모순이다.
결과적으로 참인 문장은 9번 하나다.
만약 천 개의 문장이 이 문제처럼 구성돼 있다면 9백99번째 문장만 참이고 나머지 문장 모두 거짓이다.

 

 

 

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